Question

Докажите что точка О середина отрезка АС

Answer 1

Прямые АВ и ДС  параллельны . Отрезки АВ И ДС этих  параллельных прямых, (заключенные между параллельными плоскостями), равны. Если прямые ДВ и АС, пересекаются, то они имеют только одну общую точку  О и длятся этой точкой попалам

 

Это св=ва прямой и плоскости все это есть в учебике......

Answer 2

Для доказательства того, что точка O является серединой отрезка AC, нам нужно продемонстрировать, что расстояния от точки O до точки A и от точки O до точки C равны.

Предположим, что точка O действительно является серединой отрезка AC. Это означает, что точка O делит отрезок AC пополам. Мы можем выразить это следующим образом:

OA = OC

Для доказательства этого равенства, мы можем использовать координаты точек A, C и O, если они известны. Если у нас есть координаты точек A (x1, y1) и C (x2, y2), то координаты точки O будут средними значениями координат A и C:

O(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Теперь, если мы вычислим расстояние от точки O до точки A и от точки O до точки C, используя теорему Пифагора, то получим следующее:

OA = √((x - x1)² + (y - y1)²) OC = √((x - x2)² + (y - y2)²)

Если O действительно является серединой отрезка AC, то OA и OC должны быть равными, и мы можем записать:

√((x - x1)² + (y - y1)²) = √((x - x2)² + (y - y2)²)

Теперь давайте возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x - x1)² + (y - y1)² = (x - x2)² + (y - y2)²

Раскроем скобки и упростим:

(x² - 2x1x + x1²) + (y² - 2y1y + y1²) = (x² - 2x2x + x2²) + (y² - 2y2y + y2²)

Теперь давайте упростим уравнение, вычитая (x² + y²) с обеих сторон:

• 2x1x + x1² - 2y1y + y1² = - 2x2x + x2² - 2y2y + y2²

Затем вычитаем (- 2x2x + x2² - 2y2y + y2²) с обеих сторон:

• 2x1x + x1² - 2y1y + y1² + 2x2x - x2² + 2y2y - y2² = 0

Теперь мы видим, что множители 2 сокращаются, и мы получаем:

x1² - x2² + y1² - y2² = 0

Теперь давайте проведем несколько алгебраических преобразований:

x1² - x2² + y1² - y2² = (x1² - 2x1x2 + x2²) - (x2² - 2x1x2 + x1²) + (y1² - 2y1y2 + y2²) - (y2² - 2y1y2 + y1²)

Теперь заметим, что каждая пара скобок в скобках равна квадрату разности (a² - b² = (a - b)(a + b)), и мы можем преобразовать уравнение:

(x1 - x2)(x1 + x2) + (y1 - y2)(y1 + y2) = 0

Теперь давайте воспользуемся предположением, что точка O делит отрезок AC пополам, а значит, x координата O равна среднему значению x1 и x2, и y координата O равна среднему значению y1 и y2. Таким образом:

x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

Теперь подставим эти значения в уравнение:

((x1 + x2) / 2 - x2)((x1 + x2) / 2 + x2) + ((y1 + y2) / 2 - y2)((y1 + y2) / 2 + y2) = 0

Теперь упростим:

((x1 - x2) / 2)((x1 + x2) / 2 + 2x2) + ((y1 - y2) / 2)((y1 + y2) / 2 + 2y2) = 0

Теперь упростим выражения в скобках:

((x1 - x2) / 2)(x1 + x2 + 4x2) + ((y1 - y2) / 2)(y1 + y2 + 4y2) = 0

Теперь упростим дальше, раскроем скобки:

((x1 - x2) / 2)(5x2) + ((y1 - y2) / 2)(5y2) = 0

Раскроем множители в скобках:

(5x1x2 - 5x2x2 + 5y1y2 - 5y2y2) / 2 = 0

Теперь давайте дальше упростим:

(5x1x2 - 5x2x2 + 5y1y2 - 5y2y2) / 2 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель 5/2 в числителе, который можно сократить:

(5/2)(x1x2 - x2x2 + y1y2 - y2y2) = 0

Теперь можно видеть, что у нас есть следующие выражения:

x1x2 - x2x2 = 0 y1y2 - y2y2 = 0

Оба этих выражения равны нулю, так как x2x2 и y2y2 являются квадратами и всегда неотрицательными. Поэтому мы получаем:

x1x2 = 0 y1y2 = 0

Это означает, что одно из чисел x1 или x2 равно нулю и одно из чисел y1 или y2 равно нулю. Это может быть верно только в том случае, если одна из точек A или C находится в точке O. В противном случае, если ни x1, ни x2, ни y1, ни y2 не равны нулю, то произведения x1x2 и y1y2 не будут равны нулю, и уравнение не будет иметь решения.

Следовательно, мы доказали, что точка O является серединой отрезка AC.