Question

Помогите решить,пожалуйста (подробно,10б) В р/с треугольнике ABC биссек-сы CKи AM пересекаются в т.Р Найти угол МРN?

Answer 1

Думаю, просто опечатка в условии, здесь логически вяжется угол МРК, и он вертикален углу АРС, который равен 180°-2*30°=120°.

значит и искомый угол равен 120°

использовал то, что треуг. Р/С, значит все углы по 60°, а биссектрисы их делят пополам, поэтому углы РАС и РСА=30°

Answer 2

Для того чтобы найти угол МРN в треугольнике ABC, нам понадобится использовать свойства биссектрис и вершинного угла треугольника.

Исходные данные:

1. Рассматриваемый треугольник ABC, где CK и AM - биссектрисы.

Для нахождения угла МРN нам нужно вспомнить следующие факты:

1. Биссектриса угла делит его на два равных угла. Таким образом, угол BCK равен углу KCA (поскольку CK - биссектриса угла C), и угол CAM равен углу MAC (поскольку AM - биссектриса угла A).

2. Из вершинного угла треугольника (в данном случае, угла C) проведена биссектриса, которая делит противоположную сторону (в данном случае, сторону AB) на две отрезка, пропорциональных боковым сторонам треугольника. Это можно выразить следующим образом:

   AC/BC = CA/CB

3. Аналогично, если из вершинного угла треугольника (в данном случае, угла A) проведена биссектриса, то она также делит противоположную сторону (в данном случае, сторону BC) на две отрезка, пропорциональных боковым сторонам треугольника:

   BC/AC = CB/CA

Теперь давайте используем эти свойства для нахождения угла МРN.

1. Рассмотрим биссектрису CK. Мы знаем, что угол BCK равен углу KCA. Пусть угол BCK равен α.

2. Рассмотрим биссектрису AM. Мы знаем, что угол CAM равен углу MAC. Пусть угол CAM равен β.

3. Из свойства биссектрисы в уголе C мы можем написать:

   AC/BC = CA/CB

   Подставим значения:

   AC/BC = (AC/AB) / (BC/AB)

   Теперь мы знаем, что отношение сторон AC и BC равно отношению сторон AC и AB.

4. Из свойства биссектрисы в угле A мы также можем написать:

   BC/AC = CB/CA

   Подставим значения:

   BC/AC = (BC/AB) / (AC/AB)

   Теперь мы знаем, что отношение сторон BC и AC равно отношению сторон BC и AB.

5. Из (3) и (4) мы видим, что оба выражения равны отношению сторон AC и AB:

   AC/BC = BC/AC

   Это означает, что AC^2 = BC^2.

6. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников ACR и BCR:

   AC^2 = AR^2 + CR^2 BC^2 = BR^2 + CR^2

7. Из (5) мы знаем, что AC^2 = BC^2, поэтому:

   AR^2 + CR^2 = BR^2 + CR^2

8. Отнимем CR^2 от обеих сторон уравнения:

   AR^2 = BR^2

9. Теперь мы видим, что AR = BR. Это означает, что точки R и R находятся на равном удалении от вершины C.

10. Поскольку точки R и R равноудалены от вершины C, угол MCR равен углу NCR. Таким образом, угол MCR = угол NCR = α.

11. Теперь мы знаем, что угол MCR равен углу NCR и равен α.

12. Наконец, угол МРN равен сумме углов MCR и NCR:

    Угол МРN = α + α = 2α

Итак, угол МРN равен 2α.