Question

В окружной проведены две раные не переесекающиеся хорды AB и CD. Докажите что AD=BC

Answer 1

∠DCB = ∠CAB и ∠ABC = ∠ADC как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Значит ΔAOB и ΔCOD равны по стороне и двум прилежащим углам. Значит OC = OA и OD = OB

AO + OD = AD

BO + OC = BC

В силу равенств OC = OA и OD = OB получим AD = BC.

Answer 2

Для доказательства того, что AD = BC в данной задаче, мы можем воспользоваться свойствами окружности и геометрической алгеброй.

1. Рассмотрим окружность и две не пересекающиеся хорды AB и CD, которые пересекаются в точке P (см. рисунок ниже).

   mathematicaCopy code
   O ------- A
   |        / \
   |       /   \
   |      /     \
   |     /       \
   |    /         \
   |   /           \
   |  /             \
   | /               \
   |/                 \
   C-------------------D
   

2. Вспомним свойство хорды, пересекающейся внутри окружности: произведение длин ее отрезков равно. То есть, AP * PB = CP * PD.

3. Рассмотрим также хорду AB и ее середину, которую мы обозначим как M. Точка M делит хорду AB пополам, поэтому AM = MB.

4. Теперь, используя свойства треугольников и факт, что AM = MB, мы можем записать:

   AP * PB = CP * PD (1) (свойство хорд в окружности) AM * MB = CM * MD (2) (свойство хорды AB и ее середины)

5. Теперь объединим (1) и (2):

   AP * PB = AM * MB

6. Рассмотрим треугольники APM и CBM. У нас есть:

   • AM = MB (по (2))
   • AP = CP (по свойству хорды и ее отрезков)
   • PB = PD (по свойству хорды и ее отрезков)

7. С учетом этих фактов, треугольники APM и CBM подобны. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Таким образом, мы можем записать:

   AP / CP = AM / CM PB / PD = MB / MD

8. Теперь перепишем эти уравнения следующим образом:

   AM / CM = AP / CP MB / MD = PB / PD

9. Объединим два уравнения и получим:

   (AM / CM) * (MB / MD) = (AP / CP) * (PB / PD)

10. Так как AM = MB и AP = CP, то:

(1 / CM) * (MB / MD) = (1 / CP) * (PB / PD)

11. Заметим, что (1 / CM) и (1 / CP) являются обратными пропорциями, поэтому их произведение равно 1:

(1 / CM) * (MB / MD) = 1 * (PB / PD)

12. Теперь перепишем это уравнение как:

(MB / MD) = (PB / PD)

13. Из этого уравнения видно, что отношение длин отрезков MB и MD равно отношению длин отрезков PB и PD.

14. Теперь, если мы умножим обе стороны на MD и PD, получим:

MB * PD = PB * MD

15. Теперь вернемся к (1):

AP * PB = CP * PD

16. Так как PB * MD = MB * PD (из (14)), то мы можем заменить PB * PD на MB * MD в (1):

AP * (MB * MD) = CP * (MB * MD)

17. Теперь можно сократить MD с обеих сторон:

AP * MB = CP * MB

18. Из этого следует:

AP = CP

19. Теперь рассмотрим треугольники ADP и BCP. У нас есть:

• AP = CP
• PD = PD (так как это общая сторона)
• AD = BC (так как это общая сторона)

20. Из этих фактов следует, что треугольники ADP и BCP равны по стороне-стороне-стороне.

21. Следовательно, AD = BC, и мы доказали, что AD равно BC.