Question

В правильной четырехугольной пирамидe SАВСD длина высоты равна H. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD перпендикулярно ребру SС. Угол между секущей плоскостью и плоскостью основания равен α. Найдите площадь сечения.

Answer 1

Пусть SО = Н, угол КОС = α.

Угол OSK как взаимно перпендикулярный углу COK равен α.

Тогда высота h треугольника ВКД, который и есть искомое сечение, равна H*sin α.

Диагональ  BD = AC = 2H*tg α.

Получаем ответ:

S(ВКD) = (1/2)*h*ВD = (1/2)*H*sin α*2H*tg α = H²*sin α*tg α.

Answer 2

Для нахождения площади сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD перпендикулярно ребру SC и образующей угол α с плоскостью основания, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами пирамиды и треугольников.

1. Рассмотрим треугольник BCD в сечении. Он является прямоугольным треугольником, так как BD - диагональ, а SC - ребро основания, и они перпендикулярны друг другу. Таким образом, угол BCD равен α.

2. Также, известно, что высота пирамиды равна H.

3. Мы можем разбить треугольник BCD на два прямоугольных треугольника, BCS и CSD, соответственно.

Теперь мы можем найти площадь сечения. Сначала найдем площадь треугольника BCD:

Площадь BCD = (1/2) * BC * CD

Затем найдем BC и CD, используя тригонометрию в треугольнике BCD:

BC = BD * sin(α) CD = BD * cos(α)

Теперь мы можем выразить площадь BCD через BD и α:

Площадь BCD = (1/2) * BD * sin(α) * BD * cos(α) = (1/2) * BD^2 * sin(α) * cos(α)

Теперь нам нужно найти длину диагонали BD. Вспомним, что SABCD - правильная четырехугольная пирамида, поэтому BD - это диагональ основания ABCD. Если a - длина стороны основания ABCD, то диагональ BD можно найти с помощью теоремы Пифагора:

BD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2

Теперь у нас есть выражение для площади BCD в терминах α и a:

Площадь BCD = (1/2) * (2a^2) * sin(α) * cos(α) = a^2 * sin(α) * cos(α)

Это площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD перпендикулярно ребру SC и образующей угол α с плоскостью основания.