Question

Площадь треугольника ABC с внутренними углами ∠C=90° и ∠В=60° равна 32√3 . Найдите радиус окружности СРОЧНО

Answer 1

Ответ:8

Объяснение:∠A=30°, пусть BC=x ,тогда АВ=2х (против угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы);

S=1/2BC·AB·sin60°=1/2·x·2x·√3/2=x²√3/2;

x²√3/2=32√3 ⇒ x²=64, x=8.

AB=2x=16.

R=1/2AB=8.

Answer 2

Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ABC, можно воспользоваться следующей формулой:

$R = \frac{a}{2\sin(A)}$

Где:

• R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
• a - длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу).
• A - угол при вершине C.

В данном случае у нас есть информация о площади треугольника ABC, и мы можем найти длину его гипотенузы, используя следующую формулу для площади прямоугольного треугольника:

$S = \frac{1}{2}ab$

Где:

• S - площадь треугольника.
• a и b - длины катетов.

В нашем случае:

• S = 32√3 (площадь треугольника).
• a - длина гипотенузы (которую мы и ищем).
• b - длина одного из катетов.

Мы знаем, что угол В равен 60°, поэтому треугольник ABC - 30-60-90. В таком треугольнике соотношения сторон следующие:

$\frac{a}{2} = b$ $a = 2b$

Теперь мы можем выразить b через a и подставить это выражение в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2}ab$ $32√3 = \frac{1}{2}a(2b)$ $32√3 = ab$

Теперь мы знаем, что $ab = 32√3$.

С учетом этого выражения и того, что у нас есть угол В равный 60°, мы можем вычислить радиус R:

$R = \frac{a}{2\sin(B)}$

Где B - угол при вершине B. Так как B = 60°, то:

$R = \frac{a}{2\sin(60°)}$

Теперь мы можем вычислить синус 60°:

$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение в формулу для радиуса:

$R = \frac{a}{2\sin(60°)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Используя выражение $ab = 32√3$, мы можем выразить a:

$a = \frac{32√3}{b}$

Теперь подставим это выражение для a в формулу для R:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{32√3}{b}}{\sqrt{3}} = \frac{32}{b}$

Теперь нам нужно найти b. Мы знаем, что $ab = 32√3$, и a = 2b. Подставим значение a:

$(2b)b = 32√3$ $2b^2 = 32√3$

Теперь разделим обе стороны на 2:

$b^2 = 16√3$

Извлечем корень:

$b = \sqrt{16√3} = 4√3$

Теперь мы можем найти радиус R:

$R = \frac{32}{b} = \frac{32}{4√3} = \frac{8}{√3}$

Для упрощения ответа умножим числитель и знаменатель на √3:

$R = \frac{8}{√3} \cdot \frac{√3}{√3} = \frac{8√3}{3}$

Итак, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен $\frac{8√3}{3}$.