Question

Через точку A(1, −1, 1) проведена прямая, параллельная плоскости x + y − z + 3 = 0 и пересекающая прямую x/2=y-3/1=z/-1 . Найти уравнение этой прямой. Сделать рисунок

Answer 1

Находим уравнение параллельной плоскости:

x + y - z + D = 0. Подставим те же параметры:

1 + 1 - 1 + D = 0. отсюда D = 1.

Уравнение параллельной плоскости:

x + y - z + 1 = 0

Представим заданную прямую L1 в параметрическом виде:

x/2=y-3/1=z/-1 = t.

x = 2t,

y = t + 3,

z = -t.

Подставим в уравнение параллельной плоскости:

2t + t + 3 - t + 1 = 0.

4t = -4.

t = -4/4 = -1.

Точка В пересечения прямой L1 и плоскости α имеет следующие координаты:

В(−2, 2, 1)

Теперь имеем 2 точки А и В искомой прямой L2.

Определяем вектор АВ: (-3; 3); 0).

Уравнение L2: (x - 1)/(-3) = (y + 1)/3 = (z - 1)/0.

Так как знаменатель при зет равен нулю, то надо уравнение представить в параметрическом виде:

(x - 1)/(-3) = (y + 1)/3 = (z - 1)/0 = k,

x = -3k + 1,

y = +k - 1,

z= 1.

Answer 2

Для начала найдем направляющий вектор $\mathbf{v}$ прямой, параллельной плоскости $x + y - z + 3 = 0$. Нормальный вектор к этой плоскости равен $\mathbf{n} = (1, 1, -1)$. Поскольку прямая параллельна плоскости, ее направляющий вектор тоже будет коллинеарен с вектором нормали, поэтому можно взять $\mathbf{v} = (1, 1, -1)$.

Теперь найдем точку B, через которую проходит параллельная прямая. Для этого решим систему уравнений, представленную уравнением плоскости $x + y - z + 3 = 0$ и уравнением прямой $x/2 = y - 3 = z/-1$. Решение этой системы уравнений дает нам точку B(2, -1, 1).

Теперь у нас есть точки A(1, -1, 1) и B(2, -1, 1), а также направляющий вектор прямой $\mathbf{v} = (1, 1, -1)$. Уравнение прямой можно записать в параметрической форме:

$\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t\mathbf{v}$

где $\mathbf{a}$ - начальная точка прямой, $\mathbf{v}$ - направляющий вектор прямой, $t$ - параметр.

Теперь мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной плоскости, в виде:

$\mathbf{r}(t) = (1, -1, 1) + t(1, 1, -1)$

Теперь у нас есть уравнение прямой. Чтобы нарисовать эту прямую, используйте какой-либо графический пакет или онлайн-графический калькулятор, введя уравнение прямой и указав значения параметра $t$ в интересующем вас диапазоне, например, от -10 до 10.