Question

Доведіть,що сума висот трикутника більша за його півпериметр

Answer 1

Ответ:

48 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС - рівнобедрений, АВ=ВС, АВ:АС=5:6, ВН - висота, ВН=12 см. Знайти Р(АВС).

Нехай АВ=ВС=5х см,  АС=6х см.

АН=СН=АС:2=6х:2=3х см.

Розглянемо ΔАВН - прямокутний. За теоремою Піфагора

ВН²=АВ²-АН²;  144=25х²-9х²;  16х²=144;  х²=9;  х=3.

АВ=ВС=5*3=15 см

АС=6*3=18 см

Р=15+15+18=48 см.

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо трикутник зі сторонами a, b і c та відповідними висотами h₁, h₂ і h₃. Півпериметр трикутника (позначимо його як p) визначається як:

p = (a + b + c) / 2.

Сума висот трикутника (позначимо її як H) визначається як:

H = h₁ + h₂ + h₃.

Тепер ми можемо використовувати нерівності трикутника для обчислення висот:

1. Для першої висоти h₁: h₁ ≤ c, оскільки вона протилежна стороні c.

2. Для другої висоти h₂: h₂ ≤ a, оскільки вона протилежна стороні a.

3. Для третьої висоти h₃: h₃ ≤ b, оскільки вона протилежна стороні b.

Тепер давайте додамо ці нерівності разом:

h₁ + h₂ + h₃ ≤ c + a + b.

Але згідно з визначенням півпериметра, ми знаємо, що:

p = (a + b + c) / 2.

Тож ми можемо підставити значення p у нерівність:

h₁ + h₂ + h₃ ≤ 2p.

Отже, ми довели, що сума висот трикутника завжди менша або рівна його півпериметру:

H ≤ 2p.

Звідси випливає, що сума висот трикутника завжди менша за його півпериметр.