Question

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 36, а сторона ВС в 1,8 раза меньше стороны АВ.

Answer 1

Ответ: 20 (ед. длины)

Объяснение: Сделаем чертеж соответственно условию.

КР отрезает от данного треугольника четырехугольник КВСР, вписанный в окружность. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника 180°.  

Сумма смежных углов равна 180°.

∠ВКР+∠ВСР=180°

∠ВКР+∠АКР=180° ⇒ ∠ВСР=∠АКР

Треугольники АВС и АКР подобны по  двум углам: угол А - общий, ∠АСВ=∠АКР. ⇒  

АВ:АР=ВС:КР ⇒ АВ•КР=АР•ВС

Примем ВС=х.  Тогда АВ=1,8х ⇒

1,8х•КР=36х

КР=36х:1,8х=20 (ед. длины)

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. По условию, у нас есть треугольник ABC, окружность, которая пересекает стороны AB и AC в точках K и P соответственно, и проходит через вершины B и C. Для начала, давайте обозначим неизвестные длины:

Пусть AB = x (длина стороны AB) Тогда BC = 1.8x (сторона BC меньше AB в 1.8 раза) AR = 36

Теперь мы можем использовать свойство хорды окружности. Если хорда разделяет окружность на две части, то произведение длин отрезков хорды будет равно произведению длин отрезков, на которые она делит окружность. В данном случае, мы можем записать:

AK * KB = AP * PC

Теперь мы можем выразить AK и KB через известные длины:

AK = AB - KB KB = 1.8x

Также мы знаем, что AP = AR = 36 и PC = BC - BP. Давайте найдем BP:

BP = AB - AP = x - 36

Теперь мы можем записать уравнение:

(AK) * (KB) = (AP) * (PC) (AB - KB) * (KB) = (AP) * (BC - BP) (x - 1.8x) * (1.8x) = (36) * (1.8x - (x - 36))

Теперь решим это уравнение:

(0.2x) * (1.8x) = 36 * (1.8x - x + 36) 0.36x^2 = 36 * (0.8x + 36)

Теперь разделим обе стороны на 0.36:

x^2 = 36 * (0.8x + 36)

x^2 = 28.8x + 1296

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду:

x^2 - 28.8x - 1296 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используя квадратное уравнение, получим два значения x:

x1 ≈ 54 x2 ≈ -23.61

Отрицательное значение x не имеет физического смысла, поэтому выбираем положительное значение x. Теперь мы знаем, что AB = 54.

Теперь можем найти KB:

KB = 1.8x = 1.8 * 54 = 97.2

Теперь, когда мы знаем длины AK и KB, мы можем найти длину отрезка KR:

KR = AK + KB = 54 - 97.2 = -43.2

Отрицательное значение KR также не имеет физического смысла, поэтому можем взять его по модулю:

|KR| = 43.2

Итак, длина отрезка KR равна 43.2.