Question

Треугольник АВС равносторонний. Докажите, что центр описанной около этого треугольника окружности совпадает с центром вписанной в этот треугольник окружности.Заранее спасибо!(๑・v・๑)

Answer 1

Ну.. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, описанной - в точке пересечения высот. У равностороннего треугольника эти точки совпадают.
Или нужно что-то из этого более подробно пояснить?

Answer 2

Центр описанной около равностороннего треугольника окружности

Для доказательства того, что центр описанной около равностороннего треугольника окружности совпадает с центром вписанной в этот треугольник окружности, мы можем использовать следующий аргумент:

Доказательство:

1. Пусть треугольник ABC является равносторонним треугольником, где AB = BC = AC. 2. Пусть O1 будет центром описанной около треугольника ABC окружности, а O2 - центром вписанной в треугольник ABC окружности. 3. Чтобы доказать, что O1 и O2 совпадают, нам нужно показать, что O1O2 = 0, то есть отрезок O1O2 имеет нулевую длину. 4. Рассмотрим стороны треугольника ABC. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, поэтому AB = BC = AC. 5. Рассмотрим радиусы окружностей O1 и O2. Радиус описанной около треугольника окружности (O1) равен половине длины стороны треугольника, то есть радиус O1 равен AB/2. 6. Радиус вписанной в треугольник окружности (O2) равен половине высоты треугольника, то есть радиус O2 равен h/2, где h - высота треугольника. 7. В равностороннем треугольнике высота проходит через центр окружности O2 и перпендикулярна стороне треугольника. Поэтому O2 является серединой стороны треугольника и равноудален от всех вершин треугольника. 8. Таким образом, O2 находится на пересечении медиан треугольника и является центром вписанной окружности. 9. Поскольку O2 является серединой стороны треугольника, O2 также является серединой отрезка O1O2. 10. Следовательно, O1O2 делится пополам в точке O2, что означает, что O1O2 = O2O2 = 0. 11. Таким образом, мы доказали, что центр описанной около равностороннего треугольника окружности совпадает с центром вписанной в этот треугольник окружности.