Question

Известно, что вершины треугольника расположены в точках А(-2;-1), В(3;1), С(1;5). 1) Определите вид угла А треугольника АВС. 2) Найдите модуль вектора BD , если BD=2BC

Answer 1

Точка А  Точка В  Точка С  

х    у           х    у             х    у

-2    -1           3    1             1    5

1) Длины сторон      

   АВ               ВС           АС  

Δx     Δy      Δx       Δy             Δx     Δy

5       2         -2       4             3            6

25     4               4       16        9      36

29               20                     45

АВ (c) = 5,385 ВС(a)  = 4,4721 АС (b) = 6,7082 .

Углы по теореме косинусов:      

cos A = 0,7474 A = 0,7266 радиан или 41,6335 градусов

Угол А острый.

2) |BC| = √20 = 2√5 (это определено в п. 1).

  |BD| = 2BC = 4√5.

Answer 2

Для выполнения этих задач, давайте начнем с нахождения векторов и углов треугольника.

1. Для определения вида угла А треугольника АВС, мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов. Угол между векторами определяется следующим образом:

   cos(θ) = (A·B) / (||A|| * ||B||)

Где A·B - скалярное произведение векторов A и B, ||A|| и ||B|| - модули (длины) векторов A и B.

Для нахождения векторов AB и AC, используем координаты точек:

Вектор AB = B - A = (3 - (-2), 1 - (-1)) = (5, 2) Вектор AC = C - A = (1 - (-2), 5 - (-1)) = (3, 6)

Теперь найдем cos(θ) для угла A:

cos(θ) = (AB·AC) / (||AB|| * ||AC||)

AB·AC = (5, 2)·(3, 6) = 53 + 26 = 15 + 12 = 27 ||AB|| = √(5^2 + 2^2) = √(25 + 4) = √29 ||AC|| = √(3^2 + 6^2) = √(9 + 36) = √45 = 3√5

cos(θ) = 27 / (√29 * 3√5)

Теперь найдем значение cos(θ) и определим вид угла:

cos(θ) ≈ 0.486 θ ≈ arccos(0.486)

Теперь определим вид угла:

• Если 0 < θ < 90°, то угол острый.
• Если θ = 90°, то угол прямой.
• Если 90° < θ < 180°, то угол тупой.

В данном случае, значение arccos(0.486) попадает в интервал (0, 90), поэтому угол А треугольника АВС острый.

2. Теперь найдем модуль вектора BD, если BD = 2BC.

Мы уже нашли вектор BC в предыдущем шаге (BC = (3, 6)). Теперь умножим его на 2, чтобы получить вектор BD:

BD = 2 * BC = 2 * (3, 6) = (6, 12)

Модуль вектора BD вычисляется следующим образом:

||BD|| = √(6^2 + 12^2) = √(36 + 144) = √180 = 6√5

Таким образом, модуль вектора BD равен 6√5.