Question

Помогите пожалуйста!!! Длины трёх сторон четырёхугольника последовательно равны 3, 5 и 6. Найдите его четвёртую сторону, если некоторая окружность высекает на всех его сторонах равные хорды.

Answer 1

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

(Треугольники AOB и COD равны по трем сторонам, высоты к соответствующим сторонам равны.)

Точка О равноудалена от сторон четырехугольника и является центром вписанной окружности.

В данный четырехугольник можно вписать окружность, следовательно суммы его противоположных сторон равны.

3+6 = x+5 => x=4

Answer 2

Чтобы найти длину четвертой стороны четырёхугольника, давайте воспользуемся свойством окружности, высекающей на всех его сторонах равные хорды. Это свойство гласит, что если хорды равны, то расстояния от центра окружности до середин этих хорд (половины их длины) также равны.

Итак, у нас есть четыре хорды в четырёхугольнике, и нам известны длины трёх из них: 3, 5 и 6. Нам нужно найти длину четвертой хорды. Обозначим длину четвертой хорды через $x$.

Так как хорда длиной 3 имеет длину 3, то половина её длины равна $3/2 = 1.5$.

Также, половина длины хорды длиной 5 равна $5/2 = 2.5$.

И половина длины хорды длиной 6 равна $6/2 = 3$.

Теперь мы знаем, что расстояния от центра окружности до середин этих хорд равны соответственно 1.5, 2.5 и 3.

Давайте обозначим длину четвертой хорды через $x$, а расстояние от центра окружности до середины этой хорды через $r$.

Согласно свойству окружности, расстояние от центра окружности до середины хорды связано с длиной хорды следующим образом:

$r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2},$

где $R$ - радиус окружности.

Поскольку нам дано, что на всех сторонах четырёхугольника окружность высекает равные хорды, мы можем сказать, что $r$ одинаков для всех сторон.

Таким образом, мы получаем три уравнения:

1. Для хорды длиной 3: $r = \sqrt{R^2 - (1.5)^2}$.
2. Для хорды длиной 5: $r = \sqrt{R^2 - (2.5)^2}$.
3. Для хорды длиной 6: $r = \sqrt{R^2 - (3)^2}$.

Теперь мы можем приравнять эти три уравнения между собой, так как $r$ одинаков для всех хорд:

$\sqrt{R^2 - (1.5)^2} = \sqrt{R^2 - (2.5)^2} = \sqrt{R^2 - (3)^2}.$

Теперь мы можем решить это уравнение. Возведём его в квадрат:

$R^2 - (1.5)^2 = R^2 - (2.5)^2$

Теперь выразим $R^2$:

$R^2 = (1.5)^2 - (2.5)^2$

$R^2 = 2.25 - 6.25$

$R^2 = -4$

Так как радиус окружности не может быть отрицательным, это означает, что такой четырёхугольник не существует с заданными хордами.