Question

МN-хорда кола з центром у точці О, Р-н середина МN. У цьому колі проведено радіуси ОN і ОК, який проходить через точок Р. KNP=35°.Зайти кути трикутника РNO. Буду дуже вдячна за допомогу.​

Answer 1

Ответ:

В Δ OPN

∠O=70°

∠P=90°

∠N=20°

Объяснение:

План решения:

1. доказывем,что ΔOPN - прямоугольный (∠P=90°)

2.нахoдим угол ∠ONK

3. от ∠ONK отнимаем заданный в условии ∠PNK и получам  ∠N (в Δ ONP).

4. два угла найдены, находим ∠ O=90°- ∠ N (в Δ ONP).

Решение.

1. Определим, чему равен ∠ OPN. Для чего проведем радиус в точку M.

Рассмотрим Δ MON. Этот треугольник - равнобедренный с основанием [MN], и боковыми сторонами [OM] и [ON] (т.к.l ON l = l OM l, как радиусы окружности).

Итак в равнобедренном Δ MON на основание опущена медиана [OP] (по условию l MP l=l NP l). а у равнобедренного треугольника медиана, опущенная на основание совпадает и с бисектриссой и с высотой (свойства равнобедренных треугольников)! А раз [OP] - это и высота, то ∠ OPN = ∠ OPM = 90 ° (по определению высоты треугольника). Значит ΔONP  и ΔKNP - прямоугольные!

2. Теперь рассмотрим прямоугольный Δ KNP.  Его углы:

∠ KNP =35° (по условию), ∠ KPN =90°, следовательно  

∠ PKN=180°-90°-35°=55°.

3. Теперь рассмотрим Δ KNO. Этот треугольник равнбедренный с боковыми сторонами [OK] = [ON] , как радиусы окружности. В этом равнобедренном треугольнике угол при основании ∠ OKN = ∠ PKN (отрезок [PO]l ∈  [OK] - т.е. это один и тот же угол). Следовательно ∠ ONK = ∠ OKN = ∠ PKN = 55° (углы при основании равнобедренного треугольника).

А ∠ ONK= ∠ KNP + ∠ ONP;

∠ ONP = ∠ ONK - ∠ KNP

∠ ONP = 55° - 35° =20°;

4. И наконец рассмотрим Δ ONP.

В нем угол ∠P =90°. ∠ONP=20°.Следовательно

∠PON = 180° - 90° - 20° = 70°. Все.

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію і знайдемо кути трикутника PNO. Вам вже дані деякі кути і інформація про середину MN.

1. ОН - це радіус кола, тобто ОН = ОК (рівні радіуси кола).

2. Також, РН - це відрізок, який є одночасно висотою та медіаною трикутника PNO. Ось як це виглядає:

• Висота - це лінія, яка перпендикулярна до сторони ON і проходить через вершину P.
• Медіана - це відрізок, який з'єднує вершину P з серединою сторони ON (точкою О).

3. ОП = 2 * ОН (медіана розбиває сторону на дві рівні частини).

4. Також, ви вже знаєте, що KNP = 35°.

Тепер ми можемо використовувати цю інформацію для знаходження кутів трикутника PNO.

Спочатку знайдемо кут OPH (де H - це середина сторони ON):

OPH = 1/2 * ОПО = 1/2 * 35° = 17.5°.

Тепер ми можемо знайти кут OHN, використовуючи той факт, що OHN = 90° (оскільки OH - це висота):

OHN = 90° - OPH = 90° - 17.5° = 72.5°.

Нарешті, ми можемо знайти кути PNO і NOP:

PNO = NOP = 180° - (OPH + OHN) = 180° - (17.5° + 72.5°) = 180° - 90° = 90°.

Отже, кути трикутника PNO дорівнюють 90°, 90° і 35°.