Question

Стороны основания правильной треугольной пирамиды 5 см, высота пирамиды равна 10 см. Найти полную поверхность пирамиды. Помогите пожалуйста ​

Answer 1

Дано:

Правильная треугольная пирамида.

Сторона основания = 5 см.

Высота пирамиды = 10 см.

Найти:

S полн. поверх. = ? см².

Решение:

Обозначим данную пирамиду буквами МАВС.

АВ = 5 см

МО = 10 см

Так как данная пирамида - правильная, треугольная ⇒ основание этой пирамиды - равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр основания (точку пересечения медиан, высот, биссектрис)

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны и углы равны.

⇒ AB = BC = CA = 5 см.

Проведём из вершины M к основанию правильной треугольной пирамиды апофему MK.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины этой пирамиды.

Апофема, проведённая к стороне основания правильной треугольной пирамиды, делит эту сторону пополам.

⇒ CK = KB = 5/2 = 2,5 см

Рассмотрим ΔCAK и ΔAKB:

ΔCAK = ΔAKB (они прямоугольные, так как AK - высота ΔABC; их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что ΔABC - равносторонний).

Начертим вписанную окружность равностороннего ΔABC, центр которой - точка O.

OK - радиус этой окружности ⇒ OK = a/(2√3), где a - сторона равностороннего ΔABC.

OK = 5/(2√3) = (5√3)/(2 · 3) = (5√3)/6 см.

ΔKOM - прямоугольный, т.к. MO - высота. Найдём апофему MK по т.Пифагора (c = √(a² + b²), где c - гипотенуза, a, b - катеты):

MK = √(MO² + KO²) = √(10² + ((5√3)/6)²) = 35/(2√3) = (35√3)/6 см.

P оcнов. = P ΔABC = 5 + 5 + 5 = 5 · 3 = 15 см.

S бок. поверх. = 1/2 · P основ. · MK = 1/2 · 15 · (35√3)/6 = (175√3)/4 см².

S основ. = S ΔABC = (a²√3)/4 = (5²√3)/4 = (25√3)/4 см².

S полн. поверх. = S основ. + S бок. поверх. = (25√3)/4 + (175√3)/4 = (200√3)/4 = 50√3 см².

Ответ: 50√3 см².

Answer 2

Для нахождения полной поверхности правильной треугольной пирамиды нужно вычислить площадь основания и прибавить к ней площадь боковых граней.

1. Площадь основания (S_base): Правильный треугольник имеет три стороны одинаковой длины, каждая из которых равна 5 см. Чтобы найти площадь правильного треугольника, можно воспользоваться формулой Герона: $S_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{side}^2$

Где $\text{side}$ - длина стороны треугольника.

$S_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2$

2. Площадь боковых граней (S_side): Площадь боковой грани треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту пирамиды: $S_{side} = \frac{1}{2} \times \text{perimeter} \times \text{height}$

Где $\text{perimeter}$ - периметр основания (в данном случае, 3 умножить на длину стороны).

$S_{side} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times 10$

3. Полная поверхность (S_total): Полная поверхность пирамиды равна сумме площади основания и площади боковых граней: $S_{total} = S_{base} + 3 \times S_{side}$ (так как у нас треугольная пирамида, и у неё три боковые грани).

Теперь можно подставить значения и вычислить:

$S_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2$

$S_{side} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times 10$

$S_{total} = S_{base} + 3 \times S_{side}$