Question

Прямая L касается окружности в точке K. На окружности выбраны точки A и B, лежащие по разные стороны от диаметра, проходящего через точку К. Найдите площадь треугольника AKB, если расстояния от точек A и B до прямой l равны соответственно 7 и 11, а AK=13. Ответ округлите до целого числа.

Answer 1

DKB =∪KB/2 =KAB (угол между касательной и хордой)

CKA =∪KA/2 =KBA

△KAH~△BKD, AK/BK =KH/BD

△KBH~△AKC, BK/AK =KH/AC

KH/BD=AC/KH => KH=√(AC*BD)=√77

BK =AK*KH/AC =13*√(11/7)

По теореме Пифагора

AH =√(AK^2 -KH^2) =√(13^2 -77) =√92

BH =√(BK^2 -KH^2) =√(13^2 -7^2)*√(11/7) =√120*√(11/7)

S(AKB) =1/2 (AH+BH) KH =1/2 (√92 +√120*√11/√7)*√77 =√23*√77 +11√30

Ответ: 102

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами касательных и радиусами окружности.

1. Пусть O - центр окружности, K - точка касания прямой L с окружностью, а D - середина диаметра AB.

2. Так как OK - радиус окружности, то OK = 13 (дано в задаче).

3. Также известно, что расстояния от точек A и B до прямой L равны соответственно 7 и 11. Это означает, что OD = 7 и OD' = 11, где D' - точка на прямой L, лежащая на расстоянии 11 от B.

4. Теперь мы можем воспользоваться свойством касательной, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Таким образом, OD и OD' являются перпендикулярами к радиусу OK в точках K и K', соответственно.

5. Так как DK = DK', и OK = 13, то DK = 6.5 и DK' = 11 - 6.5 = 4.5.

6. Теперь у нас есть треугольник ODK с известными сторонами OK, DK и OD. Мы можем найти его площадь, используя формулу Герона:

Полупериметр (s) = (OK + DK + OD) / 2 = (13 + 6.5 + 7) / 2 = 13.75 Площадь треугольника ODK (S) = √(s(s - OK)(s - DK)(s - OD)) = √(13.75 * 6.75 * 7.25 * 6.75) ≈ 68.85 (округляем до ближайшего целого числа)

Теперь у нас есть площадь треугольника ODK. Чтобы найти площадь треугольника AKB, нам нужно учесть, что треугольники AKB и ODK подобны, так как они имеют общий угол при вершине K и соответствующие углы при основании (прямые углы).

Отношение сторон AK и OD в треугольниках AKB и ODK также равно 13/6.5 = 2.

Поэтому площадь треугольника AKB равна площади треугольника ODK, умноженной на квадрат этого отношения:

Площадь треугольника AKB = S(ODK) * (AK/OD)^2 = 68.85 * (13/6.5)^2 = 68.85 * 4 = 275.4

Ответ: Площадь треугольника AKB равна 275 (округлено до целого числа).