Question

Дано 4 точки.Відомо,що пряма, яка проходить через будь-які дві із цих точок, не перетинається з прямою, якапроходить через інші дві точки. Доведіть, що дані чотири точки не лежать в одній площині

Answer 1

Ответ:

АВСD € (альфа)

Нехай А , В ,С € (бетта)

Припустимо що прямі АС і ВД = О

тоді АВСD € (бетта)

що суперечить умові задачі,

Отже припущення невірне АС і ВД не перетинаються , та не лежать в одній площині

Answer 2

Для доведення того, що чотири дані точки не лежать в одній площині, ми можемо використовувати властивості векторів і геометричну логіку.

Припустимо, що дані точки A, B, C і D лежать в одній площині. Потім ми можемо обрати будь-які дві точки, наприклад, A і B, і провести пряму лінію, яка проходить через них. Нехай ця пряма називається AB.

Після цього ми обираємо інші дві точки, наприклад, C і D, і проводимо пряму лінію, яка проходить через них. Нехай ця пряма називається CD.

Тепер розглянемо вектори AB і CD. Якщо точки A, B, C і D лежать в одній площині, то вектори AB і CD теж мають лежати в одній площині. Але, якщо вектори AB і CD лежать в одній площині і не перетинаються, то це означає, що вони повинні бути паралельними.

Отже, ми маємо пряму AB, яка паралельна прямій CD і проходить через точки A і B, і пряму CD, яка паралельна прямій AB і проходить через точки C і D. Але це суперечить умові задачі, оскільки за умовою пряма, яка проходить через будь-які дві із цих точок, не перетинається з прямою, яка проходить через інші дві точки.

Таким чином, наша початкова припущення про те, що точки A, B, C і D лежать в одній площині, є неправильним. Тому можна вважати, що ці точки не лежать в одній площині.