Question

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и R соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка KR , если AK = 6, а сторона АС в 1,5 раза больше стороны BC​

Answer 1

Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему, ARK=B

△ARK~△ABC (по двум углам)

AK/KR =AC/BC =1,5 => KR =6/1,5 =4

Answer 2

Для начала, давайте обозначим некоторые величины в задаче:

Пусть сторона треугольника AB равна "a", сторона AC равна "1.5a", и пусть KR = x.

Также, обозначим точку, в которой окружность пересекает сторону AB, как M, и точку, в которой она пересекает сторону AC, как N.

Известно, что AK = 6, и сторона AB равна "a". Теперь мы можем использовать теорему о трех касательных для окружности, чтобы найти длину отрезка MB:

AM = MK, так как обе они являются радиусами окружности.

Теперь, если мы рассмотрим треугольник AMK, то можем применить теорему Пифагора:

AM^2 + MK^2 = AK^2

AM^2 + x^2 = 6^2

AM^2 + x^2 = 36

Теперь давайте рассмотрим треугольник ANC. Здесь сторона AC равна "1.5a", и мы также можем применить теорему Пифагора:

AN^2 + NC^2 = AC^2

AN^2 + x^2 = (1.5a)^2

AN^2 + x^2 = 2.25a^2

AN^2 + x^2 = 2.25(a^2)

AN^2 + x^2 = 2.25AM^2 (так как AM^2 равно x^2 + AN^2)

Теперь мы имеем два уравнения:

1. AM^2 + x^2 = 36
2. AN^2 + x^2 = 2.25AM^2

Мы можем решить это систему уравнений. Выразим AM^2 из первого уравнения:

AM^2 = 36 - x^2

Подставим это значение во второе уравнение:

AN^2 + x^2 = 2.25(36 - x^2)

Теперь раскроем скобку:

AN^2 + x^2 = 81 - 2.25x^2

Переносим все на одну сторону:

AN^2 - 2.25x^2 + x^2 - 81 = 0

AN^2 - 1.25x^2 - 81 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно AN^2. Мы можем решить его и найти значение AN:

AN^2 = (1.25x^2 + 81)

AN = sqrt(1.25x^2 + 81)

Теперь у нас есть выражения для AM и AN. Но мы также знаем, что AM + AN = BC (так как это сумма отрезков, на которые окружность делит сторону AB и AC треугольника ABC). Мы знаем, что сторона AB равна "a", а сторона AC равна "1.5a", поэтому:

AM + AN = a + 1.5a = 2.5a

Теперь мы можем объединить это с выражениями для AM и AN:

2.5a = sqrt(1.25x^2 + 81) + x

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x. Сначала возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2.5a)^2 = (sqrt(1.25x^2 + 81) + x)^2

6.25a^2 = 1.25x^2 + 81 + 2x(sqrt(1.25x^2 + 81)) + x^2

Теперь переносим все члены на одну сторону и сгруппируем x-члены:

6.25a^2 - x^2 - 2x(sqrt(1.25x^2 + 81)) - 81 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно x, которое мы можем решить. Решив его, мы найдем значение x и, следовательно, длину отрезка KR.