Question

Знайдіть косинус трикутника кутив якщо abc.. А(-4;1) В(4;2) С(-2;-2)

Answer 1

Даны вершины треугольника: А(-4;1), В(4;2), С(-2;-2).

Задачу можно решить двумя способами:

1 - геометрическим по теореме косинусов, найдя длины сторон,

2 - векторным.

2 способ.

Вектор АВ = (4-(-4); 2-1) = (8; 1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.

Вектор АС = (-2-(-4); -2-1) = (2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.

cos A = (8*2 + 1*(-3))/(√65*√13) = 13/(13√5) = 1/√5 = √5/5.

Вектор BA = -AB = (-8; -1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.

Вектор BC = (-2-4); -2-2) = (-6; -4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.

cos B = (-8*-6 + -1*(-4))/(√65*√52) = 52/(26√5) = 2/√5 = 2√5/5.

Вектор CА = -AC = (-2; 3). Модуль (длина) равен √(4 + 9) = √13.

Вектор CB = -BC = (6; 4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.

cos C = (-2*6 + 3*4)/(√13*√52) = 0/(2*13) = 0.

Угол С прямой. Это также видно по сумме квадратов сторон: 13+52 = 65.

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла в треугольнике ABC, где A(-4, 1), B(4, 2) и C(-2, -2), вам понадобятся координаты вершин и знание формулы для косинуса угла между векторами.

1. Вычислите векторы AB и AC:

Вектор AB = B - A = (4 - (-4), 2 - 1) = (8, 1) Вектор AC = C - A = (-2 - (-4), -2 - 1) = (2, -3)

2. Теперь найдите скалярное произведение векторов AB и AC:

AB·AC = (8 * 2) + (1 * -3) = 16 - 3 = 13

3. Вычислите длины векторов AB и AC:

|AB| = √((8^2) + (1^2)) = √(64 + 1) = √65 |AC| = √((2^2) + (-3^2)) = √(4 + 9) = √13

4. Теперь используйте формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (AB·AC) / (|AB| * |AC|)

cos(θ) = 13 / (√65 * √13)

cos(θ) = 13 / √(65 * 13)

cos(θ) = 13 / √845

Таким образом, косинус угла между векторами AB и AC равен 13 / √845. Это значение представляет косинус угла между соответствующими сторонами треугольника ABC.