Question

Треугольник A1B1C1 симметричен треугольнику ABC с вершинами A(-1;3) B(2;-4)C(4;1) относительно точки D (7; -1). Найдите координаты вершин A1B1C1.

Answer 1

Ответ:

Координаты вершин треугольника A₁B₁C₁

$\displaystyle A_{1}(15;\; -5);\;\; B_{1}(12;\;2);\;\; C_{1}(10;\;\-3).$

Объяснение:

Две точки M (x₁; y₁) и N(x₂; y₂) симметричны относительно точки C, если точка C является серединой отрезка MN.

Формула координаты середины отрезка:

$\displaystyle x_{c}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\\\\y_{c}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

По условию ΔA₁B₁C₁ симметричен Δ ABC относительно точки D(7;-1). Тогда точка D является серединой отрезков AA₁, BB₁, CC₁.

Найдем координаты точки A₁ , симметричной точке A(-1;3) относительно точки D(7;-1).

$\displaystyle 7=\frac{-1+x_{A_1}}{2};\;\;\; -1+x_{A_1}=14;\;\;\; x_{A_1}=15.\\\\-1=\frac{3+y_{A_1}}{2};\;\;\; 3+y_{A_1}=-2;\;\;\; y_{A_1}=-5.$

Найдем координаты точки B₁, симметричной точке B(2;-4) относительно точки D(7;-1).

$\displaystyle 7=\frac{2+x_{B_1}}{2};\;\;\; 2+x_{B_1}=14;\;\;\; x_{B_1}=12.\\\\-1=\frac{-4+y_{B_1}}{2};\;\;\; -4+y_{B_1}=-2;\;\;\; y_{B_1}=2.$

Найдем координаты точки C₁, симметричной точке C(4;1) относительно точки D(7;-1).

$\displaystyle 7=\frac{4+x_{C_1}}{2};\;\;\; 4+x_{C_1}=14;\;\;\; x_{C_1}=10.\\\\-1=\frac{1+y_{C_1}}{2};\;\;\; 1+y_{C_1}=-2;\;\;\; y_{C_1}=-3.$

Answer 2

Для того чтобы найти координаты вершин треугольника A1B1C1, который симметричен треугольнику ABC относительно точки D, мы можем воспользоваться формулой для симметричной точки относительно другой точки. Формула выглядит следующим образом:

Для точки A1(x1, y1), симметричной точке A(x, y) относительно точки D(xD, yD):

x1 = 2xD - x y1 = 2yD - y

Теперь давайте найдем координаты вершин A1B1C1, используя данную формулу:

Для точки A1: xD = 7 (координата x точки D) yD = -1 (координата y точки D) x = -1 (координата x точки A) y = 3 (координата y точки A)

x1 = 27 - (-1) = 14 + 1 = 15 y1 = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5

Таким образом, координаты вершины A1 равны (15, -5).

Теперь проделаем те же вычисления для вершины B1:

xD = 7 (координата x точки D) yD = -1 (координата y точки D) x = 2 (координата x точки B) y = -4 (координата y точки B)

x1 = 27 - 2 = 14 - 2 = 12 y1 = 2(-1) - (-4) = -2 + 4 = 2

Координаты вершины B1 равны (12, 2).

И, наконец, для вершины C1:

xD = 7 (координата x точки D) yD = -1 (координата y точки D) x = 4 (координата x точки C) y = 1 (координата y точки C)

x1 = 27 - 4 = 14 - 4 = 10 y1 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3

Координаты вершины C1 равны (10, -3).

Итак, координаты вершин треугольника A1B1C1 равны: A1(15, -5) B1(12, 2) C1(10, -3).