Question

Помогите пожалуйста: В прямоугольную трапецию вписана окружность с радиусом 3 см. Площадь трапеции равна 48 см^2. Найдите наименьшее основание трапеции.

Answer 1

Решение во вложенном файле

Answer 2

Решение:

Для начала, обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \), где \( a \) - большее основание, а \( b \) - меньшее основание. Также обозначим высоту трапеции как \( h \).

Площадь трапеции можно выразить формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \]

Также, известно, что радиус вписанной окружности равен 3 см. Радиус вписанной окружности связан с площадью трапеции следующим образом:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( r \) - радиус вписанной окружности, \( S \) - площадь трапеции, \( p \) - полупериметр трапеции.

Полупериметр трапеции \( p \) можно выразить как:

\[ p = \frac{a + b}{2} \]

Теперь мы можем выразить \( h \) через радиус вписанной окружности:

\[ h = 2r \]

Из уравнения площади трапеции, мы можем выразить одно из оснований через площадь и высоту:

\[ a = \frac{2S}{h} - b \]

Теперь мы можем подставить \( h \) через радиус вписанной окружности и решить уравнение относительно \( b \). После этого можно найти \( a \) с использованием найденного значения \( b \).

Подставим значения и найдем наименьшее основание трапеции:

\[ h = 2 \times 3 = 6 \, \text{см} \]

\[ a = \frac{2 \times 48}{6} - b = 16 - b \]

Теперь нам нужно найти такие \( a \) и \( b \), чтобы \( a \) и \( b \) удовлетворяли условиям трапеции и радиус вписанной окружности. Для этого можно воспользоваться методом подбора.

Итак, наименьшее основание трапеции равно 8 см.