Question

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 42. Найдите площадь поверхности шара.

Answer 1

Sполн = 2πR² + 2πRL, где R - радиус основания, а L - образующая цилиндра

В нашем случае - осевое сечение цилиндра - квадрат (иначе не впишем в него шар) ⇒ L = 2R. Кроме того Rшара = R (см. рисунок)

Sполн = 2πR² + 4πR² = 6πR² = 42 ⇒ πR² = 42 ÷ 6; πR² = 7

Sсферы = 4πR² = 4 · 7 = 28

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти радиус цилиндра, а затем использовать формулу для площади поверхности шара.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра: Sбок = 2 * π * r * h

Площадь одного основания цилиндра: Sосн = π * r^2

Площадь полной поверхности цилиндра: Sцил = 2 * Sосн + Sбок

Теперь мы знаем, что Sцил = 42. Мы также знаем, что вписанный в цилиндр шар касается его боковой поверхности. То есть, радиус шара равен радиусу цилиндра (r).

Таким образом, у нас есть уравнение:

2 * π * r * h + 2 * π * r^2 = 42

Теперь мы можем решить это уравнение относительно r.

2 * π * r * (h + r) = 42

r * (h + r) = 42 / (2 * π)

r^2 + h * r - 21 / π = 0

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти r:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = h, и c = -21 / π

r = (-h ± √(h^2 + 4 * 21 / π)) / 2

Теперь, когда у нас есть радиус цилиндра (r), мы можем найти площадь поверхности шара (Sшар) с помощью формулы:

Sшар = 4 * π * r^2

Теперь вы можете выразить площадь поверхности шара через радиус цилиндра (r) и высоту цилиндра (h).