Question

5. Найдите отношения сторон АС : BC и AB : ВС в треугольнике АВС, в котором: а) угол A = 45°, угол B = 30°; б) угол A = 120°, угол B - 30°.​

Answer 1

Ответ:

б)AC / sin B = BC / sin A или

AC / BC = sin B / sin A = (1/2) / (√3 / 2) = √3 / 3

Answer 2

Для нахождения отношений сторон в треугольнике, у нас есть две информации: углы A и B. Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти отношения сторон.

Закон синусов утверждает:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$,

где $a$, $b$, и $c$ - стороны треугольника, $A$, $B$, и $C$ - соответствующие им углы.

а) Для треугольника, в котором угол A = 45° и угол B = 30°:

Пусть сторона AB обозначается как $a$, сторона BC обозначается как $b$, и сторона AC обозначается как $c$.

Угол C = 180° - A - B = 180° - 45° - 30° = 105°.

Теперь мы можем использовать закон синусов:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$.

Подставляя значения:

$\frac{a}{\sin(45°)} = \frac{b}{\sin(30°)} = \frac{c}{\sin(105°)}$.

Мы знаем, что $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, и $\sin(105°)$ тоже можно вычислить, но оставим ее в таком виде.

Теперь мы можем выразить отношения:

$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\sin(105°)}$.

Упрощая дроби:

$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}a = \frac{b}{\frac{1}{2}} = 2b = \frac{c}{\sin(105°)} = \frac{c}{\sin(105°)}$.

Ответ для этой части вопроса: $2\sqrt{2}a : 2b : \frac{c}{\sin(105°)}$.

б) Для треугольника, в котором угол A = 120° и угол B = 30°:

Точно так же, как и в предыдущем случае, мы можем использовать закон синусов:

Пусть сторона AB обозначается как $a$, сторона BC обозначается как $b$, и сторона AC обозначается как $c$.

Угол C = 180° - A - B = 180° - 120° - 30° = 30°.

Теперь мы можем использовать закон синусов:

$\frac{a}{\sin(120°)} = \frac{b}{\sin(30°)} = \frac{c}{\sin(30°)}$.

Значения $\sin(120°)$ и $\sin(30°)$ известны:

$\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Теперь мы можем выразить отношения:

$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$