Question

В треугольнике АВС угол С — прямой. На сторонах АС, АВ, ВС соответственно взяты точки М, Р, К так, что четырёхугольник СМРК является квадратом. АС = 6, ВС = 14. Найдите МС ПОМОГИТЕ ПО ГЕОМЕТРИИ

Answer 1

Ответ:

Обозначим длину стороны квадрата через x:

MС = MP = KP = CK = x.

Треугольник APM подобен треугольнику BKP, потому что они имеют по прямому углу и <APM = <ABK (односторонние соответствующие при сечении параллельных прямых CB и MP).

KB/MP = KP/MA (1);

KB = BC – CK = BC – x;

KP = MC;

AM = AC - MC = AC - x;

Подстановка в (1) выражений для KB, KP, AM, MP:

(BC - x)/x = x/(AC - x);

(14 - x)/x = x/(6 - x);

(14 - x)(6 - x) = x^2;

84 - 14x - 6x +x^2 = x^2;

20x = 84;

x = 4,2.

Ответ: MC = 4,2.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC:

AC = 6 (длина стороны AC) BC = 14 (длина стороны BC)

Мы знаем, что четырёхугольник СМРК является квадратом, поэтому угол СМС' (где M' - это точка на продолжении стороны AC за точку M) равен 90 градусов, и СМ' - это диагональ квадрата. Теперь мы видим, что у нас есть два прямоугольных треугольника: СМ'Р и СМК.

Мы также знаем, что AC - это гипотенуза треугольника СМ'Р, а BC - это гипотенуза треугольника СМК.

1. Для треугольника СМ'Р:

AC = 6 (гипотенуза) MC = MR (катеты)

Используем теорему Пифагора:

(6)^2 = (MC)^2 + (MR)^2

36 = MC^2 + MR^2

2. Для треугольника СМК:

BC = 14 (гипотенуза) MC = MK (катеты)

Используем теорему Пифагора:

(14)^2 = (MC)^2 + (MK)^2

196 = MC^2 + MK^2

Теперь у нас есть два уравнения с MC^2 и MR^2 (из первого треугольника) и MC^2 и MK^2 (из второго треугольника). Мы можем выразить MC^2 из обоих уравнений и приравнять их:

MC^2 + MR^2 = MC^2 + MK^2

MC^2 - MC^2 = MK^2 - MR^2

0 = MK^2 - MR^2

Теперь мы видим, что MR^2 = MK^2. Это означает, что MR = MK.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. 36 = MC^2 + MR^2
2. 196 = MC^2 + MK^2
3. MR = MK

Мы знаем, что MR = MK, поэтому мы можем заменить MR на MK в первом уравнении:

36 = MC^2 + MK^2

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1. 36 = MC^2 + MK^2
2. 196 = MC^2 + MK^2

Мы можем выразить MK^2 из первого уравнения:

MK^2 = 36 - MC^2

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

196 = MC^2 + (36 - MC^2)

Решим это уравнение:

196 = 36 - MC^2 + MC^2

MC^2 и MC^2 сокращаются:

196 = 36

Так как это уравнение не имеет решения, то что-то не сходится в задаче. Возможно, была допущена ошибка при вводе данных или условия задачи были неправильно интерпретированы. Пожалуйста, проверьте данные и условия задачи еще раз.