Question

3. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD через ребро AB и середину ребра РС проведите сечение. Определите, в ка-ком отношении, считая от вершины P, сечение разделит отрезокпрямой, соединяющий вершину Рпирамиды с центром квадратаABCD.​

Answer 1

Правильная пирамида - вершина проецируется в центр основания.

E - середина PC

O - середина AC (центр описанной окружности основания)

Рассмотрим треугольник APC.

Медианы AE и PO делятся точкой пересечения F в отношении 2:1 от вершины P.

(AE лежит в плоскости сечения. PO пересекает плоскость сечения в единственной точке F.)

Answer 2

Для определения в каком отношении сечение разделит отрезок прямой, соединяющий вершину P пирамиды с центром квадрата ABCD, мы можем воспользоваться подобием треугольников.

Давайте обозначим вершину P как (0,0,0), вершину A как (a, b, 0), вершину B как (-a, b, 0), вершину C как (-a, -b, 0), а вершину D как (a, -b, 0), где (x, y, z) - координаты вершин в трехмерном пространстве.

Теперь мы знаем, что середина отрезка AB находится в точке M1 = ((a - a) / 2, (b + b) / 2, 0) = (0, b, 0), а вершина P находится в точке (0, 0, h), где h - высота пирамиды.

Теперь мы видим, что у нас есть два треугольника: треугольник POM1 и треугольник PCD. Они подобны, так как имеют общий угол при вершине P, и углы при вершине M1 и C равны, так как M1 является серединой AB, а C - серединой CD. Следовательно, отношение длин отрезков будет равно отношению высот треугольников POM1 и PCD.

Отношение высот треугольников равно отношению длин их оснований. Основание треугольника POM1 - это отрезок M1P, который равен h, а основание треугольника PCD - это отрезок CD, который равен 2a.

Итак, отношение, считая от вершины P, в котором сечение разделит отрезок прямой, соединяющий вершину P с центром квадрата ABCD, равно h / (2a).