Question

Дано чотири точки A(0;1;1),B(1;1;2),C(2;-2;2),D(2;-3;1). Знайти кут між векторами АB і CD

Answer 1

Даны четыре точки A(0;1;1),B(1;1;2),C(2;-2;2),D(2;-3;1).

Вектор АВ = (1-0; 1-1; 2-1) = (1; 0; 1).

Вектор CD = (2-2; -3-(-2); 1-2) = (0; -1; -1).

Их модули равны:

|AB| = √(1² + 0² + 1²) = √2,

|CD| = √(0² + -1² + -1²) = √2.

Находим косинус угла между векторами.

cos(AB_CD) = (1*0 + 0*(-1) +1*(-1)) /(√2*√2) = -1/2.

Ответ: угол равен 120 градусов.

Answer 2

Щоб знайти кут між векторами $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{CD}$, спочатку знайдемо ці вектори і потім використовуємо формулу для кута між векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{CD}\|}$

Де $\theta$ - це кут між векторами, $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$ - вектори між точками $A$ і $B$, $C$ і $D$ відповідно, $\cdot$ - це скалярний добуток векторів, а $\|\overrightarrow{AB}\|$ і $\|\overrightarrow{CD}\|$ - їхні довжини.

1. Знайдемо вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{CD}$:

$\overrightarrow{AB} = \langle B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z \rangle = \langle 1 - 0, 1 - 1, 2 - 1 \rangle = \langle 1, 0, 1 \rangle$

$\overrightarrow{CD} = \langle D_x - C_x, D_y - C_y, D_z - C_z \rangle = \langle 2 - 2, -3 - (-2), 1 - 2 \rangle = \langle 0, -1, -1 \rangle$

2. Знайдемо скалярний добуток $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -1$

3. Знайдемо довжини векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{CD}$:

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\|\overrightarrow{CD}\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$