Question

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 18 см, а радиус описанной в него окружности равен 5 см. Найти площадь четырехугольника.

Answer 1

Вся информация по задаче прикреплена в файле с расширением docx. В случае проблем с открытием документа автор не несёт ответственности.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся свойствами описанных четырехугольников.

Один из ключевых фактов описанных четырехугольников состоит в том, что противоположные углы суммируются до 180 градусов. Таким образом, если $a$ и $c$ - это длины противоположных сторон четырехугольника, и $R$ - радиус описанной окружности, мы можем воспользоваться формулой косинуса для нахождения угла между этими сторонами:

$a^2 + c^2 - 2ac\cos(\theta) = 18^2.$

Также, используя формулу для площади треугольника, где $S$ - площадь четырехугольника, $R$ - радиус описанной окружности и $\theta$ - угол между противоположными сторонами:

$S = 2R^2\sin(\theta).$

Мы также знаем, что радиус описанной окружности равен 5 см. Теперь мы можем решить эту систему уравнений численно для $a$ и $c$ и, затем, найти площадь четырехугольника.

Рассмотрим уравнение для косинуса. Подставляя известные значения:

$a^2 + c^2 - 2ac\cos(\theta) = 18^2,$ $a^2 + c^2 - 2ac\cos(\arccos\left(\frac{18}{2\times5\times2}\right)) = 18^2,$ $a^2 + c^2 - 9ac = 18^2.$

Теперь мы можем воспользоваться методом подбора чисел для нахождения подходящих значений $a$ и $c$. После нахождения $a$ и $c$, мы можем найти угол $\theta$ и затем рассчитать площадь четырехугольника используя формулу для площади, которую я указал выше.