Question

Даны пересекающиеся окружности радиусов 6 и 8 с центрами O1 и O2 соответственно. Обозначим одну из их точек пересечения через A. Известно, что ∠O1AO2=90∘. Через точку A проводится прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Найдите наибольшую возможную длину отрезка BC.​

Answer 1

Ответ:

20

Объяснение:

1) Способ. Рисунок тот же.

Максимальное значение отрезка BC прямо пропорционально максимуму отрезка EF.

BC=AB+BC=2AE+2AF=2(AE+AF)=2EF

FEO₁O₂-прямоугольная трапеция с высотой EF и наклонной боковой стороной O₁O₂. Из чего следует, что EF≤O₁O₂=10

BC=2EF≤20

Равенство достигается при параллельности  BC и O₁O₂. Из чего и следует возможность построения.

2) способ на рисунке

Answer 2

Для нахождения наибольшей возможной длины отрезка BC нам нужно максимизировать угол BAC, так как длина BC будет максимальной, когда точки B и C находятся на окружностях максимально далеко друг от друга.

Известно, что ∠O1AO2=90∘, что означает, что O1A и O2A - это радиусы окружностей, и они перпендикулярны к отрезку AO2. Таким образом, треугольник O1AO2 является прямоугольным треугольником, и мы можем использовать его для вычисления угла BAC.

Обозначим радиус первой окружности как r1 = 6 и радиус второй окружности как r2 = 8. По теореме Пифагора для треугольника O1AO2:

O1O2^2 = O1A^2 + O2A^2

где O1O2 - это гипотенуза, O1A и O2A - это катеты.

O1O2^2 = (r1 + r2)^2 = (6 + 8)^2 = 14^2 = 196

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения угла BAO1 (или O2AC, так как треугольник BAO1 и треугольник O2AC схожи), так как они противолежащие катетам.

sin(BAO1) = O1A / O1O2 cos(BAO1) = O2A / O1O2

Теперь мы можем найти sin и cos BAO1:

sin(BAO1) = O1A / O1O2 = r1 / O1O2 = 6 / 14 = 3 / 7 cos(BAO1) = O2A / O1O2 = r2 / O1O2 = 8 / 14 = 4 / 7

Теперь мы можем найти угол BAO1, используя обратные тригонометрические функции:

BAO1 = arcsin(3 / 7) ≈ 25.84 градуса BAC = 2 * BAO1 ≈ 2 * 25.84 ≈ 51.68 градусов

Теперь у нас есть угол BAC, и мы можем использовать его для нахождения длины отрезка BC:

BC = 2 * r2 * sin(BAC / 2) BC = 2 * 8 * sin(51.68 / 2) BC ≈ 2 * 8 * sin(25.84) BC ≈ 2 * 8 * (3 / 7) BC ≈ 48 / 7

Таким образом, наибольшая возможная длина отрезка BC составляет примерно 6.86 единиц (округлено до двух знаков после запятой).