Question

Отдаю последние балы... Доведіть, що периметр опианої трапеції в чотири рази більший за середнб лінію.

Answer 1

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD и боковыми сторонами АВ и CD и средней линией МК.

Периметр трапеции равен

Р = АВ + CD + ВС + AD

или с учетом свойства четырёхугольника, описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника ( в том числе и трапеции), описанного около окружности, равны.

То есть

АВ + CD = ВС + AD

Тогда периметр трапеции равен

Р = 2( ВС + AD)

А средняя линия равна полусумме оснований, или

ВС + AD = 2 МК

Тогда периметр

Р = 2 · 2МК

Р = 4 МК

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для того чтобы довести, что периметр описанной трапеции в четыре раза больше, чем средняя линия (также известная как средняя линия трапеции), давайте представим, что длины сторон трапеции равны:

a - длина одной из оснований (большей стороны), b - длина другого основания (меньшей стороны), c - длина боковой стороны, соединяющей основания, d - средняя линия (расстояние между основаниями).

Тогда периметр трапеции можно выразить как:

P = a + b + 2c.

Средняя линия равна среднему арифметическому длин оснований:

d = (a + b) / 2.

Теперь нам нужно доказать, что периметр P в четыре раза больше средней линии d:

P = 4d.

Подставляя значение d из уравнения средней линии в уравнение для периметра:

P = 4((a + b) / 2).

Упростим это выражение:

P = 2(a + b).

Теперь давайте убедимся, что P в четыре раза больше d:

P / d = (2(a + b)) / ((a + b) / 2) = 4.

Таким образом, мы убедились, что периметр описанной трапеции в четыре раза больше средней линии.