Question

Высота CK прямоугольного треугольника ABC проведена на гипотенузе, которая делит гипотенузу на сегменты 8 см и 32 см. Найдите катеты и периметр треугольника. ​

Answer 1

Решение данной задачи в фото ниже

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами подобных треугольников.

Пусть $AB$ - гипотенуза, а $AC$ - высота, разбивающая $AB$ на сегменты $8$ см и $32$ см. Пусть $BC$ - один из катетов, а $x$ - другой катет. Теперь мы можем записать два подобных треугольника: треугольник $ABC$ и треугольник $ACD$, где $D$ - точка пересечения $AC$ и $BC$.

Из подобия треугольников мы можем записать следующее:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BC}$

Сначала найдем длину $AC$. Мы знаем, что $AB = 8 \, \text{см} + 32 \, \text{см} = 40 \, \text{см}$, так как гипотенуза делится на сегменты $8$ см и $32$ см. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + x^2 = 40^2$ $AC^2 + x^2 = 1600$

Теперь мы можем найти $AC$:

$AC = \sqrt{1600 - x^2}$

Теперь подставим это значение в выражение для подобия треугольников:

$\frac{\sqrt{1600 - x^2}}{40} = \frac{8}{BC}$

Теперь найдем $BC$:

$BC = \frac{8 \cdot 40}{\sqrt{1600 - x^2}}$

Теперь у нас есть выражения для обоих катетов $BC$ и $x$. Для нахождения периметра треугольника $ABC$ нам нужно сложить все его стороны:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

$P_{ABC} = 40 + \frac{8 \cdot 40}{\sqrt{1600 - x^2}} + \sqrt{1600 - x^2}$

Теперь у нас есть выражение для периметра треугольника $ABC$ в зависимости от $x$. Для нахождения $x$ можно решить уравнение $P_{ABC} = \text{const}$, если дано значение периметра $P_{ABC}$.