Question

В правильной треугольной пирамиде SABC отрезок AM – бис- сектриса треугольника ABC, точка Хє АМ. Докажите, что пря- мая SX перпендикулярна прямой BC.

Answer 1

Ответ:

SABC - правильная треугольная пирамида, значит ее основание - правильный треугольник, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

АМ - биссектриса ΔАВС, значит она и медиана и высота,

AM⊥ВС.

SM⊥BC, как медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.

• Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
• если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

ВС⊥АМ, ВС⊥SM, значит ВС⊥(SAM).

Тогда ребро ВС перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости.

SX⊂(SAM),  ⇒ BC⊥SX.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая SX перпендикулярна прямой BC в правильной треугольной пирамиде SABC, мы можем воспользоваться геометрией пирамиды и свойствами биссектрисы угла.

Поскольку SABC - правильная треугольная пирамида, все ее грани и ребра равны. Это означает, что треугольник ABC в основании пирамиды равносторонний, и все его углы равны 60 градусов.

Поскольку AM - биссектриса угла A в треугольнике ABC, она делит угол A на два равных угла. Таким образом, угол BAM и угол CAM равны по 30 градусов каждый.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник SAM внутри пирамиды SABC. Угол SAM равен сумме углов BAM и CAM, то есть 30 + 30 = 60 градусов. Но так как пирамида SABC правильная, угол SAB (или SBA) также равен 60 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник SBX в плоскости SAB. У нас есть два угла, SAB и SBX, равные 60 градусов каждый. Это означает, что третий угол этого треугольника, угол XBS, также равен 60 градусам.

Таким образом, мы видим, что углы SBX и SBA равны 60 градусов, что делает прямую SX перпендикулярной прямой BA и, следовательно, перпендикулярной прямой BC.

Итак, прямая SX перпендикулярна прямой BC, что и требовалось доказать.