Question

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Длина диагонали 20 см, угол между диагоналями 30°. а) Вычислите площадь АВО треугольника! б) Обоснуйте, что SABO = SBOC! в) Вычислите площадь прямоугольника ABCD! (Рисунка нет)

Answer 1

Ответ:

ааааааааааааааааааааааааааа

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу по шагам:

а) Вычисление площади треугольника ABO:

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)$, где $a$ и $b$ - это длины сторон треугольника, а $C$ - угол между этими сторонами.

В треугольнике ABO у нас есть известная длина диагонали $AB = 20$ см и угол $\angle ABO = 30^\circ$.

Мы можем разделить треугольник ABO на два равнобедренных треугольника ABO и ABO, так как диагонали прямоугольника равны, а угол между ними равен 90°.

Таким образом, длины сторон этих равнобедренных треугольников равны:

$AB = AO = BO = 20$ см,

Угол между этими сторонами равен половине угла $\angle ABO$, то есть $15^\circ$.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника ABO:

$S_{ABO} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AB \cdot \sin(15^\circ)\right)$

$S_{ABO} = AB^2 \cdot \sin(15^\circ)$

$S_{ABO} = 20^2 \cdot \sin(15^\circ)$

$S_{ABO} \approx 86.6$ см²

б) Обоснование того, что $S_{ABO} = S_{BOC}$:

Мы ранее разделили треугольник ABO на два равнобедренных треугольника ABO и ABO. Таким образом, эти два треугольника имеют равные площади, так как у них равны основания и высоты.

В свою очередь, треугольник BOC также является равнобедренным, потому что диагонали прямоугольника равны, и угол между ними делится пополам при пересечении в точке O. Таким образом, треугольник BOC также имеет равные основания и высоту с треугольником ABO.

Следовательно, $S_{ABO} = S_{BOC}$.

в) Вычисление площади прямоугольника ABCD:

Площадь прямоугольника можно найти по формуле: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ - длины его сторон.

У нас есть длина диагонали $AC = 20$ см, и мы знаем, что $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника AOC, в котором угол $\angle AOC = 90^\circ$.

Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длин сторон прямоугольника:

$\sin(30^\circ) = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{20}$

Отсюда $BC = 10 \cdot \sqrt{3}$ см.

Так как $BC$ и $AB$ являются сторонами прямоугольника ABCD, то:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 20 \cdot 10 \cdot \sqrt{3} \approx 173.2$ см².

Итак, площадь прямоугольника ABCD примерно равна 173.2 квадратных сантиметра.