Question

Вершина C треугольника ABC не лежит в плоскости α, а сторона AB лежит в этой плоскости. На сторонах AC и BC отметили точки M и N соответственно, причём CM : MA = CN : NB = 2 : 5. а) Докажите, что прямая MN параллельна плоскости αб) Найдите длину отрезка MN, если AB = 28 см​

Answer 1

Ответ:

Длина отрезка MN равна 8 см.

Объяснение:

а) Докажите, что прямая MN параллельна плоскости α

б) Найдите длину отрезка MN, если AB = 28 см​

Дано: ΔАСВ.

АВ ⊂ α; С ∉ α;

М ∈ CА; N ∈ CB;

CM : MA = CN : NB = 2 : 5;

AB = 28 см.

Доказать: MN || α

Найти: МN.

Доказательство:

CM : MA = CN : NB = 2 : 5

• Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

⇒ MN || AB.

• Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна данной плоскости.

⇒ MN || α.

Решение:

CM : MA = CN : NB = 2 : 5

Пусть СМ = 2х, тогда МА = 5х, а СА = 7х.

Рассмотрим ΔMCN и ΔАСВ.

MN || AB

• Лемма. Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔMCN ~ ΔАСВ

Составим отношения сходственных сторон и найдем MN:

$\displaystyle \frac{CM}{CA}=\frac{MN}{AB}\\\\\frac{2x}{7x} =\frac{MN}{28}\\ \\MN = \frac{2x\cdot28}{7x} =8\;_{(CM)}$

Длина отрезка MN равна 8 см.

#SPJ1

Answer 2

а) Доказательство:

Из условия, мы знаем, что CM : MA = CN : NB = 2 : 5. Это означает, что точки M и N делят отрезки AC и BC в соотношении 2:5 соответственно.

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом: CM = 2x MA = 5x CN = 2y NB = 5y

Теперь рассмотрим треугольник CMA и треугольник CNB. Они имеют общий угол при C и одинаковые соотношения сторон:

С учетом этого, треугольники CMA и CNB подобны (по критерию 2 стороны и угол между ними), что означает, что углы CMA и CNB равны. Это значит, что прямая MN параллельна плоскости α.

б) Найдем длину отрезка MN:

Используя соотношения, которые мы ввели ранее, можем выразить длины отрезков CM, MA, CN и NB через x и y:

CM = 2x MA = 5x CN = 2y NB = 5y

Теперь рассмотрим отрезок MN. По построению, он делит сторону AC в отношении 2:5 и сторону BC в отношении 5:2. Это означает, что:

MN = 2x + 5y

Так как мы знаем, что CM = 2x и CN = 2y, то мы можем представить длину MN только через эти известные длины:

MN = CM + CN = 2x + 2y

Теперь мы видим, что длина отрезка MN не зависит от размеров стороны AB, поэтому, если AB = 28 см, то длина MN также равна 2x + 2y.

Для того чтобы найти значение 2x + 2y, нам нужно знать конкретные значения x и y, что нам не дано в условии.