Question

В круге с центром О проведены две хорды AB и CD. Докажите что AC= BD

Answer 1

Ответ:

∠BOD=∠AOC как вертикальные углы при пересечении диаметров АВ и CD.

Отрезки ОА = ОВ = ОС = ОД как радиусы окружности, тогда ΔBOD и ΔАОС равны по двум сторонам и углу между ними, а следовательно хорда AC равна хорде BD, что и требовалось доказать.

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что AC = BD в данной задаче, давайте воспользуемся свойствами окружности и треугольников.

Пусть AB и CD - две хорды, пересекающиеся в точке E внутри круга с центром O. Мы хотим доказать, что AC = BD.

1. Поскольку AB и CD - две хорды, пересекающиеся внутри круга, то угол AEC равен углу DEC (они оба открывают одну и ту же дугу AC круга).

2. Теперь рассмотрим треугольники AEO и DEO. Они имеют общий катет EO (радиус круга) и равные углы AEO и DEO (по свойству вертикальных углов из-за пересечения AB и CD).

3. Из свойства равных треугольников (сторона-угол-сторона) следует, что эти два треугольника равны, и, следовательно, сторона AO равна стороне DO.

4. Теперь рассмотрим треугольники ACO и DCO. У них есть общий катет CO (так как это радиус круга), и стороны AO и DO равны, как мы только что установили.

5. Из свойства равных треугольников (сторона-угол-сторона) следует, что эти два треугольника ACO и DCO равны, и, следовательно, сторона AC равна стороне DC.

Таким образом, мы доказали, что AC = BD, что и требовалось доказать.