Question

В прямоугольнике ABCD точка N — середина стороны BC. Точки K и L на диагонали AC таковы, что ∠DKC = ∠DLN = 90◦ . Докажите, что L — середина отрезка AK.

Answer 1

∠DLN =∠C =90° => DLNC - вписанный

Пусть окружность пересекает AD в точке M.

DMLC - вписанный, ∠D=90° => ∠MLC=90° => ML||DK

DMNC - вписанный, ∠C=∠D=90° => ∠M=∠N=90°

DMNC - прямоугольник, MD=NC, M - середина AD

ML - средняя линия в △DAK => L - середина AK

Answer 2

Для доказательства, что точка L является серединой отрезка AK, давайте воспользуемся свойствами подобных треугольников и теоремой о средней линии в треугольнике.

Поскольку у нас есть прямоугольник ABCD, то мы знаем, что угол ABC равен 90 градусов. Также, по условию задачи, угол DKC и угол DLN тоже равны 90 градусов, следовательно, треугольники DKC и DLN прямоугольные.

Рассмотрим треугольник DKC. У нас есть два прямых угла: угол DKC и угол KCD (поскольку ABCD - прямоугольник). Следовательно, третий угол DKC также равен 90 градусов. Это означает, что треугольник DKC также является прямоугольным.

Аналогично, треугольник DLN также является прямоугольным, так как у нас есть два прямых угла: угол DLN и угол LND (также 90 градусов, так как ABCD - прямоугольник).

Теперь мы видим, что у нас есть два прямоугольных треугольника: DKC и DLN.

Из свойства прямоугольных треугольников мы знаем, что в таких треугольниках медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Таким образом, медиана KL треугольника DKC равна половине стороны DC, а медиана LN треугольника DLN равна половине стороны DN.

Так как точка N является серединой стороны BC (по условию задачи), то DN равно половине стороны BC.

Теперь мы видим, что медиана KL треугольника DKC равна половине стороны DC, а медиана LN треугольника DLN равна половине стороны BC. Но сторона DC равна стороне BC, так как они обе являются сторонами прямоугольника ABCD.

Итак, медиана KL треугольника DKC равна медиане LN треугольника DLN, что означает, что точка L является серединой отрезка AK. Доказано.