Question

Розв'яжіть трикутник ABC, у якому BC=10см, кут В=30 градусів, кут С=45 градусів. Довжини невідомих сторін знайдіть із точністю до сотих сантиметра

Answer 1

Задача полягає у знаходженні довжин трьох сторін трикутника з відомими кутами і однією стороною.

У нас дані кути B і C, тобто ми знаємо кути біля сторін B і C. Оскільки сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів, то ми можемо знайти третій кут A, віднявши суму кутів B і C від 180 градусів:

A = 180 - B - C

Таким чином, маємо:

A = 180 - 30 - 45 = 105 градусів

Тепер можна застосувати теорему синусів, щоб знайти довжину сторони, яка не є BC. Теорема синусів говорить, що співвідношення між довжинами сторін трикутника та синусами відповідних кутів є постійним:

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Давайте знайдемо довжину сторони AC. За теоремою синусів:

AC/sin A = BC/sin B

Дізнаємось BC з умови задачі: BC = 10 см.

Тепер знайдемо sin A, sin B:

sin A = sin 105° ≈ 0,966

sin B = sin 30° = 0,5

Підставимо ці значення в формулу:

AC/0,966 = 10/0,5

AC ≈ 19,32 см

Тепер, застосовуючи теорему косинусів, можна знайти довжину сторони AB:

AB² = AC² + BC² - 2×AC×BC×cos B

Знову замінюємо відомі значення:

AB² = 19,32² + 10² - 2×19,32×10×cos 30°
AB² ≈ 254,72

AB ≈ 15,96 см

Таким чином, довжини сторін трикутника ABC є:

AB ≈ 15,96 см

AC ≈ 19,32 см

BC = 10 см

Answer 2

Для розв'язання трикутника вам потрібно визначити довжини всіх його сторін. Ми можемо скористатися правилом синусів для цього.

У трикутнику ABC маємо:

1. $BC = 10 \ \text{см}$ (дано).
2. $\angle B = 30^\circ$ (дано).
3. $\angle C = 45^\circ$ (дано).

Знайдемо третій кут $\angle A$, використовуючи властивість суми кутів у трикутнику:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C$

$\angle A = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

Тепер, використовуючи правило синусів, ми можемо знайти сторони трикутника:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Для визначення сторін ми можемо позначити їх так:

$a$ - сторона, протилежна куту $\angle A$,

$b$ - сторона, протилежна куту $\angle B$,

$c$ - сторона, протилежна куту $\angle C$.

У нашому випадку, $b = BC = 10 \ \text{см}$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle A = 105^\circ$.

Тепер використаємо правило синусів:

$\frac{a}{\sin 105^\circ} = \frac{10}{\sin 30^\circ}$

З цього ми можемо визначити $a$:

$a = 10 \cdot \frac{\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Використовуючи тригонометричні значення для цих кутів:

$\sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Таким чином,

$a = 10 \cdot \frac{\sin 75^\circ}{\frac{1}{2}}$

$a = 10 \cdot 2 \cdot \sin 75^\circ$

Визначте значення $\sin 75^\circ$, і підставте його у вираз для $a$, і ви отримаєте довжину сторони $a$. Знайдені значення округліть до сотих сантиметрів.