Question

Сторони АВ і АС трикутника АВС відносяться як 5:4. Знайдіть, у якому відношенні медіана ВМ ділить бісектрису АL.

Answer 1

Ответ:

Медиана ВМ делит биссектрису АL в отношении 9 : 5.

Объяснение:

Стороны АВ и АС треугольника АВС относятся как 5:4. Найдите, в каком отношении медиана ВМ делит биссектрису АL.

Дано: ΔАВС.

АВ : АС = 5 : 4;

ВМ - медиана, AL - биссектриса.

ВМ ∩ AL = O

Найти: АО : ОL

Решение:

Проведем LK || BM.

АВ : АС = 5 : 4

Пусть АВ = 5х, АС = 4х.

AL - биссектриса.

• Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон.

⇒ АВ : АС = LB : LC = 5 : 4

Рассмотрим ∠ВСМ

LK || BM (построение)

• Теорема Фалеса:
• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

⇒ СL : LB = CK : KM = 4 : 5

AC = 4x   ⇒   AM = MC = 2x (ВМ - медиана)

⇒   $\displaystyle KM = 2x:9\cdot 5=\frac{10x}{9}$

Рассмотрим ∠LAK

По теореме Фалеса:

$\displaystyle AM :MK=AO :OL = 2x:\frac{10x}{9}=\frac{2x\cdot 9}{10x} =\frac{9}{5}$

Медиана ВМ делит биссектрису АL в отношении 9 : 5.

#SPJ1

Answer 2

Для знаходження відношення, в якому медіана ВМ ділить бісектрису АL, можна скористатися відомим фактом: медіана ділить бісектрису у відношенні 2:1. Тобто, медіана ділить бісектрису на дві частини, де одна частина у 2 рази довша за іншу.

За умовою задачі маємо відношення сторін АВ і АС трикутника АВС як 5:4. Це означає, що сторона АВ ділиться на 5 частин, і сторона АС ділиться на 4 частини.

Тепер розглянемо бісектрису АL. Вона ділить сторину АС у відношенні 4:5, оскільки ми маємо зворотнє відношення до сторін АВ і АС. Тобто, частина, ділення сторони АС, що знаходиться ближче до точки А, дорівнює 4 частинам, а частина, що ділиться більш віддалено від точки А (ближче до точки С), дорівнює 5 частинам.

Медіана ВМ ділить бісектрису АL у відношенні 2:1, але з урахуванням відношення, в якому ділиться бісектриса АL, ми також маємо додатковий коефіцієнт 4/5 (частка більшої частини бісектриси до загальної довжини сторони АС).

Отже, відношення, в якому медіана ВМ ділить бісектрису АL, дорівнює: 2:1 * (4/5) = 8:5

Отже, медіана ВМ ділить бісектрису АL у відношенні 8:5.