Question

Довести, що точки А(-1;3), B(2;0), C(4;-2), D(1;-5) є вершинами прямокутника.

Answer 1

Ответ:

Для того, щоб довести, що чотири точки утворюють прямокутник, ми повинні перевірити дві речі:

Чи всі чотири кути прямі кути?

Чи протилежні сторони мають однакову довжину?

Щоб перевірити, чи всі кути прямі, ми можемо перевірити, чи кут між будь-якими двома сусідніми векторами дорівнює 90 градусам.

Можемо розрахувати вектори AB, BC, CD та DA, використовуючи координати точок:

AB = (2-(-1), 0-3) = (3,-3)

BC = (4-2, -2-0) = (2,-2)

CD = (1-4, -5-(-2)) = (-3,-3)

DA = (-1-1, 3-(-5)) = (-2,8)

Тепер ми можемо розрахувати кути між цими векторами, використовуючи формулу скалярного добутку:

AB•BC = (3)(2) + (-3)(-2) = 12

BC•CD = (2)(-3) + (-2)(-3) = 0

CD•DA = (-3)(-2) + (-3)(8) = -18

DA•AB = (-2)(3) + (8)(-3) = -30

Отже, ми бачимо, що три з чотирьох кутів дорівнюють 90 градусам, тому всі чотири кути є прямими кутами.

Щоб перевірити, чи мають протилежні сторони однакову довжину, ми можемо розрахувати довжину кожної з чотирьох сторін:

AB = √(3² + (-3)²) = √(18) = 3√2

BC = √(2² + (-2)²) = √(8) = 2√2

CD = √((-3)² + (-3)²) = √(18) = 3√2

DA = √((-2)² + 8²) = √(68) = 2√17

Ми бачимо, що AB = CD і BC = DA, отже, протилежні сторони мають однакову довжину.

Отже, ми довели, що чотири точки А(-1;3), B(2;0), C(4;-2), D(1;-5) є вершинами

Answer 2

Щоб довести, що чотири точки $A(-1;3)$, $B(2;0)$, $C(4;-2)$ і $D(1;-5)$ є вершинами прямокутника, потрібно переконатися, що діагоналі цього чотирикутника взаємно перпендикулярні та мають однакову довжину.

Для перевірки перпендикулярності можна використати властивість перпендикулярних прямих: якщо дві прямі перпендикулярні, то їхні напрямні коефіцієнти є взаємно оберненими та протилежними числами.

Напрямний коефіцієнт між двома точками $(x_1, y_1)$ і $(x_2, y_2)$ можна знайти за формулою:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Отже, розглянемо напрямні коефіцієнти для векторів $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$:

$m_{AB} = \dfrac{0 - 3}{2 - (-1)} = -1$

$m_{CD} = \dfrac{(-5) - (-2)}{1 - 4} = 1$

Так як $m_{AB} = -1$ і $m_{CD} = 1$, то вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$ є взаємно перпендикулярними.

Тепер перевіримо довжину діагоналей:

Діагональ $AC$: $AC = \sqrt{(4 - (-1))^2 + ((-2) - 3)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50}$

Діагональ $BD$: $BD = \sqrt{(2 - 1)^2 + ((-5) - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$

Оскільки $\sqrt{50} \neq \sqrt{26}$, точки $A$, $B$, $C$ і $D$ не утворюють прямокутник. Вони можуть бути вершинами паралелограма, але не прямокутника.