Question

Доведіть що бісектриса рівносторонього трикутника ділить його на два рівних прямокутних трикутники у кожного з яких гіпотенуза удвічі більша за один з його катетів СРОЧНО!!!!! ДАЮ 100 БАЛОВ МЕНЯ ЩАС СЬЕДЯТ

Answer 1

Для початку, розглянемо трикутник ABC. Бісектриса ділить його на два рівних прямокутних трикутники - AED та BEC. За допомогою правила Піфагора, можна зрозуміти, що гіпотенуза AE удвічі більша за один з його катетів AD, і те саме стосується трикутника BEC, де гіпотенуза BE удвічі більша за один з його катетів BC. Тому, бісектриса рівносторонього трикутника ABC справді ділить його на два рівних прямокутних трикутники у кожного з яких гіпотенуза удвічі більша за один з його катетів.

Answer 2

Для того, щоб довести це твердження, давайте розглянемо рівносторонній трикутник ABC, де всі сторони і кути рівні. Нехай D - це точка перетину бісектриси трикутника ABC.

1. Позначимо довжину сторони рівностороннього трикутника ABC як a.

2. Розділимо бісектрису на два рівні сегменти, і позначимо їхні кінці як D і E, де D - це ближчий до вершини A, а E - далі від вершини A.

3. Проведемо лінію DE.

Тепер ми маємо два прямокутні трикутники: ΔADE і ΔBDE. Розглянемо їх окремо.

Для трикутника ΔADE:

• Відомо, що трикутник ABC рівносторонній, тобто всі його кути рівні 60 градусів.
• Також відомо, що бісектриса трикутника поділяє внутрішній кут A навпіл, тобто кут BAD = 30 градусів.
• Також відомо, що AD = DE, так як точка D - це точка перетину бісектриси зі стороною BC.
• Тож ми маємо прямокутний трикутник ΔADE з кутами 30 градусів, 60 градусів і 90 градусів.

Для трикутника ΔBDE:

• Знову ж таки, AD = DE, оскільки точка D - це точка перетину бісектриси зі стороною BC.
• Також, оскільки ABC рівносторонній, то кути BAC і BCA дорівнюють 60 градусів, отже, кут BDE дорівнює 60 градусів.

Таким чином, ми маємо два прямокутних трикутники ΔADE і ΔBDE:

• У трикутнику ΔADE гіпотенуза AD дорівнює DE, що дорівнює половині сторони a, тобто AD = DE = a/2.
• Один з катетів трикутника ΔADE - це DA, і він дорівнює a/2.
• Другий катет - це AE, і він дорівнює a, оскільки DE = a/2, і ми знаємо, що AD = DE.

Отже, в трикутнику ΔADE гіпотенуза удвічі більша за один з катетів.

• У трикутнику ΔBDE гіпотенуза BD дорівнює DE, що дорівнює половині сторони a, тобто BD = DE = a/2.
• Один з катетів трикутника ΔBDE - це BE, і він дорівнює a, оскільки DE = a/2, і ми знаємо, що BD = DE.

Отже, в трикутнику ΔBDE гіпотенуза удвічі більша за один з катетів.

Отже, бісектриса трикутника ABC ділить його на два рівні прямокутні трикутники ΔADE і ΔBDE, в кожного з яких гіпотенуза удвічі більша за один з катетів. Твердження доведено.