Question

АВСD ― паралелограм. Знайдіть координати вершини D, якщо А(4; 2), В(8; 5), С(5; 1). Чи є АВСD ромбом?

Answer 1

Объяснение:

1. Так диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то необходимо найти координаты середины диагонали АС, потом, зная середину диагонали BD, найти координаты точки D;

2. Середина диагонали АС (точка F):

$X_F=0.5*(X_A+X_C)=4,5;\\Y_F=0.5*(Y_A+Y_C)=1,5;$

F[4,5;1,5];

3. Так как точка F[4,5;1,5] является серединой отрезка BD, то координаты точки D:

$X_D=2*X_F-X_B=1;\\Y_D=2*Y_F-Y_B=-2;$

D[1;-2].

4. скалярное произведение векторов АC и BD:

(5-4)*(1-8)+(5-2)*(-2-5)=-7-21=-28≠0,

значит, параллелограмм ABCD не является ромбом (диагонали не перпендикулярны).

Answer 2

Для знаходження координат вершини D паралелограма ABCD, нам потрібно врахувати властивості паралелограма.

Властивості паралелограма:

1. Протилежні сторони паралелограма паралельні.
2. Протилежні сторони паралелограма рівні за довжиною.
3. Протилежні кути паралелограма рівні.

Маємо дані координати точок A(4; 2), B(8; 5), C(5; 1).

1. Спочатку знайдемо вектори AB і AC. Вектор AB = (8 - 4, 5 - 2) = (4, 3) Вектор AC = (5 - 4, 1 - 2) = (1, -1)

2. Тепер знайдемо координати точки D, яка знаходиться на протилежній стороні паралелограма від точки C відносно точки B. Для цього додамо вектор AB до вектора AC:

   D = C + AB = (5, 1) + (4, 3) = (9, 4)

Таким чином, координати вершини D дорівнюють (9, 4).

3. Перевіримо, чи є ABCD ромбом. Ромб - це паралелограм, в якого всі сторони рівні.

Знайдемо довжини сторін AB, BC, CD і DA:

AB = √((8 - 4)² + (5 - 2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 BC = √((5 - 8)² + (1 - 5)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 CD = √((9 - 5)² + (4 - 1)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 DA = √((4 - 9)² + (2 - 4)²) = √(25 + 4) = √29

Отже, всі сторони ABCD мають різні довжини, тобто це не ромб. ABCD - паралелограм, але не ромб.