Question

Знайти площу ортогональної проекції многокутника на деяку площину, якщо площа цього многокутника дорівнює 8см², а кут між площиною многокутника і площиною проекції дорівнює 30º​

Answer 1

Ответ:

Площа ортогональної проекції дорівнює 4√3см²

Объяснение:

Sпроекц=Sмног*cos30°=8*√3/2=4√3 см²

Answer 2

Для знаходження площі ортогональної проекції многокутника на площину, спочатку потрібно розглянути трикутник, утворений площиною многокутника, напрямком проекції та відстанню від площини до точки проекції. Цей трикутник є прямокутним, оскільки кут між площиною многокутника і площиною проекції 90º (оскільки ортогональна проекція йде перпендикулярно до площини проекції).

Нехай $A$ - площина многокутника, $B$ - площина проекції, $C$ - точка проекції. Позначимо відстань від точки $C$ до площини $B$ як $h$.

За умовою, площа многокутника $S_A = 8 \, \text{см}^2$, і кут між площиною $A$ і площиною $B$ дорівнює 30º. Отже, площа трикутника $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot AB$.

Враховуючи, що $AB = AC \cdot \cos 30º = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, площу трикутника можна виразити як:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h \cdot AC$

Ми знаємо, що площа многокутника $S_A = 8 \, \text{см}^2$, тобто $S_{ABC} = 8 \, \text{см}^2$.

Таким чином, ми маємо:

$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h \cdot AC = 8 \, \text{см}^2$

Тепер можемо виразити $h$ через $AC$:

$h = \frac{32}{\sqrt{3} \cdot AC} \, \text{см}$

Щоб знайти площу проекції, нам потрібно знайти площу основи прямокутної призми, обмеженої площиною $B$ та трикутником $ABC$. Площа цієї призми дорівнює $S_B = S_{ABC} \cdot AC$.

Підставимо значення $S_{ABC} = 8 \, \text{см}^2$ і $AC = \frac{h \cdot \sqrt{3}}{2}$:

$S_B = 8 \cdot \frac{h \cdot \sqrt{3}}{2} = 4h\sqrt{3} \, \text{см}^2$

Тепер підставимо вираз для $h$:

$S_B = 4 \cdot \frac{32}{\sqrt{3} \cdot AC} \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2$

$S_B = \frac{128 \sqrt{3}}{AC} \, \text{см}^2$

Отже, площа ортогональної проекції многокутника на площину $B$ дорівнює $\frac{128 \sqrt{3}}{AC} \, \text{см}^2$