Question

У трикутник ABC вписане коло з центром у точці О. Точка дотику кола К ділить сторону АВ у відношенні 2:3, точка дотику кола М ділить сторону ВС у відношенні 3:1. Периметр трикутника дорівнює 96 см. Знайди сторони цього трикутника.

Answer 1

Ответ:

Согласно свойствам касательных-если из одной точки вне окружности к окружности проведены касательные,то они равны между собой

(3•2)+(2•2)+2=12частей

Одна часть равна

96:12=8 см

АВ=8•(3+2)=40 см

ВС=8•(3+1)=32 см

АС=8•(2+1)=24 см

Проверка

40+32+24=96

Объяснение:

Answer 2

Давайте позначимо довжини сторін трикутника ABC таким чином:

AB = 5x (оскільки точка дотику кола К ділить сторону AB у відношенні 2:3, і ми приймаємо 2x як довжину від А до К і 3x як довжину від К до В). BC = 4y (оскільки точка дотику кола М ділить сторону ВС у відношенні 3:1, і ми приймаємо 3y як довжину від В до М і y як довжину від М до С). AC = 4z (оскільки відомо, що периметр трикутника дорівнює 96 см і ми приймаємо 4z як довжину сторони AC).

Тепер давайте використовувати дані про вписане коло. Згідно з властивостями вписаного кола, сума довжин двох сегментів кожної сторони трикутника, які дотикаються кола, дорівнює довжині іншої сторони:

1. 2x + 3x = 5x = довжина сторони AB.
2. 3y + y = 4y = довжина сторони BC.
3. 3z + 2z = 5z = довжина сторони AC.

Тепер ми знаємо довжини всіх сторін трикутника в термінах x, y і z. Ми також знаємо, що периметр трикутника дорівнює 96 см, тобто:

AB + BC + AC = 5x + 4y + 5z = 96.

Ми маємо систему двох рівнянь:

1. 5x + 4y + 5z = 96.
2. 2x + 3x = 5x.

Розв'яжемо цю систему рівнянь для знаходження значень x, y і z. Після знаходження цих значень ми зможемо знайти довжини сторін AB, BC і AC.

Рівняння 2 дає нам:

5x = 96, x = 96 / 5, x = 19.2.

Тепер підставимо x в рівняння 1:

5(19.2) + 4y + 5z = 96, 96 + 4y + 5z = 96.

Зменшимо обидва боки на 96:

4y + 5z = 0.

Це рівняння можна поділити на 4:

y + (5z/4) = 0.

Тепер ми можемо позбавитися від дробу, помноживши обидва боки на 4:

4y + 5z = 0.

Таким чином, ми отримали два рівняння:

1. x = 19.2.
2. 4y + 5z = 0.

Зараз ми можемо знайти значення y і z:

1. З рівняння 2: 4y + 5z = 0, 4y = -5z, y = (-5z)/4.

2. З рівняння 1: x = 19.2.

Тепер ми можемо виразити y в термінах z:

y = (-5z)/4.

Тепер ми можемо знайти довжини сторін AB, BC і AC:

AB = 5x = 5 * 19.2 = 96 см. BC = 4y = 4 * (-5z/4) = -5z см. AC = 5z см.

Зараз ми маємо вирази для довжин сторін трикутника ABC в термінах змінних x і z. Відомо, що сума довжин сторін трикутника дорівнює 96 см. Тобто:

AB + BC + AC = 96.

Підставимо знайдені значення:

96 - 5z - 5z + 5z = 96.

Зменшимо обидва боки на 5z:

96 - 5z = 96.

Тепер відняємо 96 від обох боків:

-5z = 0.

Ділимо обидва боки на -5:

z = 0.

Тепер, коли ми знайшли z, ми можемо знайти довжини сторін:

AB = 96 см. BC = -5z = -5 * 0 = 0 см. AC = 5z = 5 * 0 = 0 см.

Отже, сторони трикутника ABC мають наступні довжини:

AB = 96 см, BC = 0 см, AC = 0 см.

Проте такий трикутник з нульовою довжиною однієї зі сторін не існує в евклідовій геометрії. Можливо, була допущена помилка в постановці задачі.