Question

Різниця між медіаною, проведеною до гіпотенузи прямокутного трикутника, та її проекцією на гіпотенузу дорівнює 18 см. Відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи дорівнює 24 см. Обчисліть периметр трикутника

Answer 1

Відповідь: 120 см.

Пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Для вирішення цієї задачі, спочатку обчислимо довжину гіпотенузи та потім визначимо периметр трикутника. Для цього скористаємося геометричними властивостями прямокутного трикутника.

Нехай $a$ та $b$ - катети прямокутного трикутника, $c$ - гіпотенуза, а $M$ - середина гіпотенузи. Тоді за теоремою Піфагора маємо:

$a^2 + b^2 = c^2$

Також, з властивостей середини гіпотенузи можна знайти, що $AM = MB = \frac{c}{2}$.

Зараз обчислимо довжину гіпотенузи:

$c = 2 \cdot MB = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$

Це нам нічого не дало нового і не допомагає вирішити задачу. Однак, ми маємо ще одну інформацію: відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи дорівнює 24 см. Це відомо, як висота, що проведена до гіпотенузи. Означаємо це як $h$.

За властивістю схожих трикутників маємо, що співвідношення між висотою $h$, катетами $a$ і $b$, і гіпотенузою $c$ є наступним:

$\frac{h}{a} = \frac{b}{c}$

Або ж:

$h = \frac{ab}{c}$

Зараз ми маємо дві рівняння:

1. $a^2 + b^2 = c^2$
2. $h = \frac{ab}{c}$

Ми знаємо, що різниця між медіаною та її проекцією на гіпотенузу дорівнює 18 см, тобто:

$c - \frac{2}{3}h = c - \frac{2}{3}\frac{ab}{c} = 18$

Тепер ми маємо систему рівнянь:

1. $a^2 + b^2 = c^2$
2. $c - \frac{2}{3}\frac{ab}{c} = 18$

З цієї системи рівнянь можна виразити значення $a$, $b$, і $c$. Після цього можна обчислити периметр трикутника, який визначається як сума довжин усіх його сторін.