Question

сторона основания правильной четырехугольника призмы равна 10 см диагональ призмы образуется с плоскостью основания угол 45°. найдите а) диагональ призмы б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани в) площадь боковой поверхности призмы г) площадь течения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания

Answer 1

1) Из ΔВВ1D - прям.:L BDB1= 45⁰, тогда и L DB1B = 45⁰, значит ΔDBB1-равнобедр.       и ВВ1=BD,   B1D = BD·√2

2) Из Δ АВD - прям.равноб.: BD= AD·√2 =10√2 (см)  

    (!!!! катет и гипотенуза отличаются в √2 раз), тогда DВ1 = 10√2·√2=20 (см).

3)Из ΔB1DC1- прям.: sin  LB1DC1 = B1C1/B1D = 10/20 = 0,5

                                  LB1DC1 = 30⁰.

4) S бок = Р осн·Н= 4·АD ·BB1=4·10·10√2=400√2 (cм²).

5) Сечение - прямоугольник АВ1С1D:  Sсеч = AD·DC1

Из Δ В1С1D : DC1= √20²-10²= √300= 10√3 

  Sсеч = AD·DC1= 10·10√3=100√3 (cм²). 

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:

а) Диагональ призмы: Для правильной четырехугольной призмы с основанием 10 см, известно, что диагональ образуется с плоскостью основания под углом 45°. Это образует прямоугольный треугольник со сторонами, равными половине стороны основания (5 см) и 10 см. Мы можем использовать тригонометрический косинус для нахождения длины диагонали (D):

$D = \sqrt{10^2 + (5 \times \cos(45°))^2}$

$D = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} \approx 11.18 \text{ см}$

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани: Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен углу наклона диагонали к плоскости основания, который составляет 45°.

в) Площадь боковой поверхности призмы: Для правильной четырехугольной призмы с основанием 10 см и диагональю $D$ (полученной в пункте а), площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

$S_{бок} = 4 \times \frac{1}{2} \times \text{сторона основания} \times D$

$S_{бок} = 4 \times \frac{1}{2} \times 10 \times 11.18 = 4 \times 5 \times 11.18 = 4 \times 56.4 = 225.6 \text{ см}^2$

г) Площадь течения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания: Площадь течения $S_{течение}$ призмы плоскостью можно найти как площадь трапеции. Полуоси трапеции будут равны половине стороны основания (5 см) и диагонали $D$ (полученной в пункте а). Высота трапеции равна стороне верхнего основания, что также равно половине стороны основания (5 см).

$S_{течение} = \frac{1}{2} \times (\text{сумма осей}) \times \text{высота}$

$S_{течение} = \frac{1}{2} \times (5 + 11.18) \times 5 = \frac{1}{2} \times 16.18 \times 5 \approx 40.45 \text{ см}^2$