Question

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, CH-высота, AB=15, tgA=3, Найдите BH

Answer 1

AB=15,tgA=3,CH_|_AB
AH=x,BH=15-x
cos²A=1:(1+tg²A)=1:(1+9)=1/10
cosA=1/√10
AC=ABcosA=15*1/√10=1,5√10
AC²=AB*AH
22,5=15x
x=22,5:15=1,5
BH=15-1,5=13,5

Answer 2

Задачу можно решить и через подобие треугольников.  
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
 Угол ВСН= (90°- ∠ В)=угол А. 
Δ СВН∽Δ АСН∽Δ АВС
tg A=СН:АН
СН:АН=3
СН=3АН
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла к гипотенузе,  является средним пропорциональным отрезков, на которые она делит гипотенузу. 
СН² =АН*ВН
ВН=15-АН
(3АН)²= АН*(15-АН)
9АН²=15 АН-АН²
10АН²=15 АН
10 АН=15
АН=1,5
ВН=15-1,5=13,5

Answer 3

Давайте обозначим:

• $AB = 15$ (гипотенуза)
• $AC = b$ (противоположный катет к углу $A$)
• $BC = a$ (противоположный катет к углу $B$)
• $CH = h$ (высота, проведенная к гипотенузе $AB$)

Мы знаем, что $\tan(A) = \frac{AC}{CH}$, и по условию $\tan(A) = 3$, следовательно:

$3 = \frac{b}{h} \quad \Rightarrow \quad b = 3h$

Также мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти связь между $a$, $b$ и $h$:

$a^2 + b^2 = c^2$

В данном случае $c$ равно гипотенузе $AB$, то есть $c = 15$. Подставим $b = 3h$ и $a$ в это уравнение:

$(3h)^2 + a^2 = 15^2$

$9h^2 + a^2 = 225$

Теперь нам нужно найти $h$, что бы решить уравнение. Из первого уравнения мы знаем, что $\frac{b}{h} = 3$, следовательно $b = 3h$. Так как $b$ - это катет, относительно угла $A$, а $h$ - высота, то $\triangle ACH$ - это прямоугольный треугольник. Из этого следует, что:

$AC^2 + CH^2 = AH^2$

$b^2 + h^2 = (3h)^2$

$9h^2 + h^2 = 9h^2$

$10h^2 = 9h^2$

$h^2 = 0$

$h = 0$

Однако, так как $h$ представляет собой длину, она не может быть отрицательной. Вероятно, в исходной постановке задачи была допущена ошибка. Проверьте внимательно условие задачи и убедитесь, что все данные указаны правильно.