Question

Висота.,проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника,ділить його на два трикутника з площами 16 і 4 см(квадратні).Знайдіть гіпотенузу даного трикутника

Answer 1

Высота прямоугольного  треугольника, проведенная из прямого угла к гипотенузе, делит его на подобные треугольники. 
Пусть будет треугольник АВС, СН - высота к гипотенузе. 
Тогда  отношение площадей треугольников АСН и ВСН
S₁:S₂ =т 4:16 или 1/4.
Так как отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, коэффициент подобия k= √1/4=1/2
Следовательно, гипотенузы треугольников АСН и ВСН относятся как 1:2
 Но АС и ВС - катеты треугольника АВС.  
ВC=2АС 
Площадь Δ АВС=АС*ВС:2
S (ABC)=(S ACH+S BCH)=4+16=20 см²
ВC=2АС
S (ABC)=АC*2 AС:2
2 S (ABC)=2 AC²=40
AC²=20
AC=√20 см
BC=2√20 см
АВ²=АС²+ВС²
АВ²=(√20)²+( 2√20)²=20+80
АВ²=100
АВ=10 см

Answer 2

Давайте позначимо висоту, проведену до гіпотенузи прямокутного трикутника як h, а площу одного з отриманих трикутників як S1 і площу іншого трикутника як S2.

Ми знаємо, що площа трикутника дорівнює половині добутку довжини його гіпотенузи і прилеглої до неї висоти:

S1 = (1/2) * гіпотенуза * h = 16 см² S2 = (1/2) * гіпотенуза * h = 4 см²

Зараз ми можемо вирішити цю систему рівнянь відносно гіпотенузи і висоти.

Спочатку виразимо h з одного з рівнянь. Давайте виразимо h з першого рівняння:

h = (2 * S1) / гіпотенуза

Тепер підставимо це в друге рівняння:

(2 * S1) / гіпотенуза = 4 см²

Зараз розв'яжемо це рівняння для гіпотенузи:

2 * S1 = 4 * гіпотенуза

гіпотенуза = (2 * S1) / 4 = (S1) / 2

Тепер підставимо значення S1:

гіпотенуза = (16 см²) / 2 = 8 см

Отже, гіпотенуза даного прямокутного трикутника дорівнює 8 см.