Question

Две окружности касаются внешним образом в точке A. Общая внешняя касательная касается этих окружностей в точках B и C. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. P.S. Если можно с рисунком.

Answer 1

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной
центры касающихся окружностей и их общая точка касания находятся на одной прямой)))

Answer 2

Для доказательства, что треугольник ABC прямоугольный, давайте воспользуемся свойствами касательных к окружностям.

Пусть есть две окружности с центрами O1 и O2, и пусть они касаются внешним образом в точке A, как показано на рисунке:

cssCopy code
         O1
          o
           \
            \
             A
            / \
           /   \
          /     \
         o-------o O2

Давайте обозначим точки B и C на касательной к окружностям так, как показано на рисунке:

cssCopy code
         O1
          o
           \
            \
             A
            / \
           /   \
      B   /     \   C
         o-------o O2

Теперь, поскольку B и C - это точки касания касательной с окружностями, у нас есть следующие равенства углов:

1. Угол ABO1 равен углу ACB (как вертикальные углы).
2. Угол ACO2 равен углу ABC (как вертикальные углы).

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть следующие равенства углов:

1. Угол ABO1 = угол ACB.
2. Угол ACO2 = угол ABC.

Теперь давайте посмотрим на треугольники ABO1 и ACO2. Угол ABO1 равен углу ACO2 (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники ABO1 и ACO2 - это равнобедренные треугольники, так как у них два угла и одна сторона равны. Из свойств равнобедренных треугольников следует, что стороны AB и AC также равны.

Теперь, когда у нас есть равные стороны AB и AC в треугольнике ABC, это означает, что треугольник ABC прямоугольный, так как в прямоугольных треугольниках гипотенуза равна катетам.

Таким образом, треугольник ABC прямоугольный, и доказательство завершено.