Question

В прямоугольном треугольнике высота и медиана,проведенные из прямого угла делят этот угол на три равные части.Площадь треугольника,образуемого вершиной прямого угла и точками пересечения высоты и медианы с гипотенузой, равна 2 \sqrt{3}.Найдите площадь круга вписанного в исходный треугольник.

Answer 1

ВАС=90
Т.к. угол ВАС делится на 3 равные части, то угол ВДА= углу ДАЕ= углу ЕАС=30.
Треугольник ВДА подобен ВАС по двум углам: ДВА=АВС, угол ВДА=ВАС=90 ,
=> угол ВСА= ДАВ=30
=>треугольник АЕС= равнобедренный , АЕ=АС
Треугольник ВДА= ЕДА по двум углам и стороне, ДА- общая, угол ВДА=ЕДА, угол ВАД=ЕАД. 
=>ВД=ДЕ
обозначим ДЕ за х, тогда ВД=х, ЕС=2х, ЕА=2х
S треугольника ЕДА =(1/2)*ЕД*ДА=(1/2)*х*2х*cos30
(х^2)*(sqrt{3}/2)=2/sqrt{3}     
х=2/sqrt{3}     
(1/2)АС=АЕ*cos30=(4/sqrt{3})*(sqrt{3}/2)=2
=> AC=4
ВА=ВС*cos60=4x*(1/2)=(8/sqrt{3})*(1/2)=4/sqrt{3}
S треугольника АВС =(1/2)*АВ*АС=8/sqrt{3}
р (полупериметр)=(6+2sqrt{3})/sqrt{3}
r=S/p
r=8/(6+2sqrt{3})=4/(3+sqrt{3})
S круга=п*r^2=(16п)/((3+sqrt{3})^2)

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где A - вершина прямого угла, B и C - концы гипотенузы. Проведем высоту AD и медиану AM из вершины A, которые делят угол BAC на три равные части.

Таким образом, у нас есть три угла: BAD, DAM и MAC, каждый из которых равен 30 градусов, так как угол BAC равен 90 градусов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BDA. Он является равнобедренным, так как BD равно AD (высота - это отрезок, проведенный из вершины прямого угла под углом к гипотенузе). Из-за угла BAD равного 30 градусов, у нас есть равенство углов BAD и BDA.

Пусть BD = AD = x (давайте обозначим их как x для удобства).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AMD. Он также является равнобедренным, так как AM = AD (медиана делит сторону пополам). Из-за угла DAM равного 30 градусов, у нас есть равенство углов DAM и DMA.

Теперь давайте найдем площадь треугольника BDA. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

Площадь BDA = (1/2) * BD * AD = (1/2) * x * x = x^2/2

Теперь найдем площадь треугольника AMD. Мы знаем, что AMD также равнобедренный, и угол DAM равен 30 градусам. Мы можем использовать формулу для площади равнобедренного треугольника:

Площадь AMD = (1/2) * AM * DM

Сначала найдем AM. Так как AM делит сторону AC (гипотенуза) пополам, то AM = AC/2 = x.

Теперь найдем DM. Мы знаем, что угол DAM равен 30 градусам, и DM - это сторона, противоположная этому углу. Таким образом, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для равнобедренного треугольника:

sin(30 градусов) = DM / x

(1/2) = DM / x

DM = x/2

Теперь мы можем найти площадь треугольника AMD:

Площадь AMD = (1/2) * AM * DM = (1/2) * x * (x/2) = x^2/4

Теперь у нас есть площади треугольников BDA и AMD. По условию задачи, площадь треугольника BDA равна 2√3:

x^2/2 = 2√3

x^2 = 4√3

x = 2√3

Теперь мы знаем длину стороны x, и мы можем найти площадь исходного треугольника ABC:

Площадь ABC = (1/2) * BC * AC = (1/2) * (2√3) * (2√3) = 6

Теперь, чтобы найти площадь круга, вписанного в исходный треугольник ABC, мы можем воспользоваться формулой для площади вписанного круга, которая равна:

Площадь круга = π * r^2

где r - радиус круга.

Радиус круга можно найти как половину высоты треугольника ABC, так как центр вписанного круга находится на пересечении высот треугольника.

Радиус r = (1/2) * AD = (1/2) * 2√3 = √3

Теперь мы можем найти площадь вписанного круга:

Площадь круга = π * (√3)^2 = 3π

Ответ: Площадь вписанного в исходный треугольник круга равна 3π.