Question

Докажите, что четырехугольник ABCD параллелограмм и найдите центр его симметрии, если A(−1;4;3), B(−3;6;−5), C(3;0;-5), D(5;-2;3)

Answer 1

ABCD - ромб,  т.к. все стороны раны.  Найдем длины сторон по формуле  AB=√(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²
AB=6√2,  CD=6√2,  BC=6√2,  AD=6√2
Точка О- точка пересечения диагоналей,  середина диагонали, является центром симметрии.  Найдем её координаты
x=1/2(x₁+x₂)  y=1/2(y₁+y₂)    z=1/2(z₁+z₂)
O(1. 1. -1)

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы можем воспользоваться следующими свойствами параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллельны.
2. Противоположные стороны равны (это верно только для ромбов и квадратов).
3. Диагонали делят параллелограмм на две равные по площади части.

Давайте проверим эти свойства для четырехугольника ABCD.

1. Противоположные стороны параллельны:

   Вектор AB = B - A = (-3 - (-1), 6 - 4, -5 - 3) = (-2, 2, -8) Вектор CD = D - C = (5 - 3, -2 - 0, 3 - (-5)) = (2, -2, 8)

   Мы видим, что вектор AB и вектор CD имеют одинаковое направление (каждая координата вектора CD просто умножается на -1), поэтому стороны AB и CD параллельны.

   Вектор BC = C - B = (3 - (-3), 0 - 6, -5 - (-5)) = (6, -6, 0) Вектор DA = A - D = (-1 - 5, 4 - (-2), 3 - 3) = (-6, 6, 0)

   Мы видим, что вектор BC и вектор DA имеют одинаковое направление, поэтому стороны BC и DA также параллельны.

2. Противоположные стороны равны:

   Для этого свойства нужно проверить, что длины сторон AB и CD равны между собой и длины сторон BC и DA тоже равны.

   Длина вектора AB: |AB| = √((-2)^2 + 2^2 + (-8)^2) = √(4 + 4 + 64) = √72

   Длина вектора CD: |CD| = √(2^2 + (-2)^2 + 8^2) = √(4 + 4 + 64) = √72

   Длина вектора BC: |BC| = √(6^2 + (-6)^2 + 0^2) = √(36 + 36 + 0) = √72

   Длина вектора DA: |DA| = √((-6)^2 + 6^2 + 0^2) = √(36 + 36 + 0) = √72

   Мы видим, что длины всех сторон равны между собой, что соответствует свойству параллелограмма.

3. Диагонали делят параллелограмм на две равные по площади части:

   Для этого свойства мы можем найти середину диагоналей AC и BD и убедиться, что они совпадают.

   Середина диагонали AC: M1 = (A + C) / 2 = ((-1 + 3) / 2, (4 + 0) / 2, (3 - 5) / 2) = (1, 2, -1)

   Середина диагонали BD: M2 = (B + D) / 2 = ((-3 + 5) / 2, (6 - 2) / 2, (-5 + 3) / 2) = (1, 2, -1)

   Середины диагоналей совпадают, что означает, что диагонали делят параллелограмм ABCD на две равные по площади части.

Итак, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Чтобы найти центр симметрии (центр симметрии параллелограмма), мы можем найти среднее арифметическое координат вершин A, B, C и D, так как центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей.

Центр симметрии: Mсимметрии = (A + B + C + D) / 4 = ((-1 - 3 + 3 + 5) / 4, (4 + 6 + 0 - 2) / 4, (3 - 5 - 5 + 3) / 4) = (4 / 4, 8 / 4, -4 / 4) = (1, 2, -1)

Таким образом, центр симметрии четырехугольника ABCD находится в точке (1, 2, -1).