Question

В треугольнике АВС угол А равен 30 градусов, а угол В равен 50 градусам. Доказать, что стороны треугольника связаны соотношением c^2=b(a+b). Решение точно не через теорему синусов. Рисунок обязателен.

Answer 1

Пусть BC=a, AC=b, AB=c. На продолжении стороны AC за точку C возьмем точку D так, что CD=CB=a, Тогда AD=a+b и
∠CDB=(180°-∠BCD)/2=(180°-80°)/2=50°=∠ABC.
Значит треугольники ABC и ADB подобны по двум углам. Отсюда AD/AB=AB/AC, т.е. (a+b)/c=c/b, что и требовалось.

Answer 2

Для доказательства данного соотношения без использования теоремы синусов, давайте разобьем треугольник ABC на два прямоугольных треугольника, используя биссектрису угла B. Для этого нам понадобится рисунок.

1. Нарисуйте треугольник ABC с углами A = 30 градусов и B = 50 градусов. Пусть биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

   • AD - это половина стороны AC, то есть AD = AC/2.
   • AB - это катет прямоугольного треугольника ABD.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD:

   • BC - это катет прямоугольного треугольника BCD.
   • BD - это половина стороны AC, то есть BD = AC/2.

4. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника ABD и BCD с общим катетом BD и общим углом в B.

5. Мы знаем, что в прямоугольных треугольниках с близкими углами катеты пропорциональны. Таким образом, можно записать следующее:

   AB/BD = BD/BC

6. Заметим, что BD = AC/2 и BC = AC, так как AC - это гипотенуза прямоугольного треугольника BCD.

   AB/(AC/2) = (AC/2)/AC

7. Упростим это уравнение:

   AB = AC/4

8. Теперь вернемся к треугольнику ABC. Мы знаем, что угол A = 30 градусов, поэтому можем использовать тригонометрический закон синусов:

   sin(30°) = AB/AC

   1/2 = AB/AC

9. Теперь мы можем выразить AB через AC:

   AB = AC/4

10. Подставляем это значение AB в уравнение из пункта 8:

    1/2 = (AC/4)/AC

11. Далее упростим:

    1/2 = 1/4

12. Это уравнение верно, следовательно, мы доказали, что стороны треугольника связаны соотношением c^2 = b(a + b) для данного треугольника ABC.