Question

ПОмОГИТЕ с ГЕОМЕТРИЕЙ! В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С

Answer 1

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

△AOB₁ и △A₁OB подобны
(∠AOB₁=∠A₁OB - вертикальные углы, ∠AB₁O=∠BA₁O=90)
∠B₁AO=∠A₁BO
△CAA₁и △CBB₁ подобны (∠AA₁C=∠BB₁C=90)
B₁C/A₁C = BC/AC <=> B₁C/BC = A₁C/AC

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

△ABC и △A₁B₁C подобны (∠ACB - общий)

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ABC и A1B1C, мы можем воспользоваться двумя фактами:

1. Если в остроугольном треугольнике проведены высоты, то они пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Пусть ортоцентром треугольника ABC является точка H.

2. Высоты треугольника ABC разбивают его на более мелкие треугольники, которые подобны треугольнику ABC. То есть, треугольник AHA1 подобен треугольнику ABC, а также треугольник BHB1 подобен треугольнику ABC.

Из этих двух фактов мы можем заключить, что треугольники AHA1 и BHB1 подобны треугольнику ABC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник A1B1C. Он образован пересечением высот треугольника ABC. То есть, точка H является вершиной треугольника A1B1C.

Таким образом, у нас есть два подобных треугольника: AHA1 подобен ABC и BHB1 подобен ABC. Из этого следует, что AHA1 подобен BHB1, так как оба они подобны треугольнику ABC. Теперь у нас есть два подобных треугольника: AHA1 и BHB1.

Из этого можно заключить, что треугольник AHA1 подобен треугольнику BHB1, так как они оба подобны треугольнику ABC и имеют общий угол между соответствующими сторонами.

Таким образом, треугольник AHA1 подобен треугольнику BHB1, а следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C.