Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке Е стороны ВС. Докажите, что Е – середина ВС. 2. В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD. Известно, что AD= 2, уголАВD = уголАСD = 90градусов и расстояние между точками пересечения биссектрис треугольников АВD и АСD равно корень из 2. Найдите длину стороны ВС.

Answer 1

Обозначим угол A параллелограмма за a, угол B параллелограмма за b. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, тогда a+b=180. Рассмотрим треугольник ABE. Так как AE - биссектриса угла A, угол BAE равен a/2. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, BEA=180-b-a/2=a/2. То есть, в треугольнике равны углы BAE и BEA, тогда он равнобедренный и AB=BE. 

Аналогично, угол C равен углу А и равен а, угол D равен b. В треугольнике CDE угол CDE равен b/2, так как DE - биссектриса. Тогда угол DEC равен 180-a-b/2=b/2. Таким образом, треугольник CDуравнобедренный и EC=CD. Так как AB=CD, BE=EC, тогда E - середина BC, что и требовалось.

Answer 2

1. Для доказательства того, что точка Е - середина стороны ВС параллелограмма ABCD, давайте воспользуемся свойством биссектрис треугольника.

Пусть AE и DE - биссектрисы углов A и D соответственно. Тогда мы знаем, что биссектриса угла делит его на два равных угла. Это означает, что угол CAE равен углу CAD, и угол CDE равен углу CDA.

Также, по свойствам параллелограмма, угол CAD равен углу ABC, и угол CDA равен углу BCD.

Из вышесказанного следует, что угол CAE равен углу ABC, и угол CDE равен углу BCD. Теперь мы видим, что угол CAE и угол CDE образуют пару вертикальных углов, и, следовательно, они равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник CBE. Мы знаем, что угол CAE равен углу CDE, и угол BCE - это общий угол для этих треугольников.

По теореме об углах в треугольнике, сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. Так как угол CAE равен углу CDE, то угол BCE равен 180 - (угол CAE + угол CDE).

Но мы уже знаем, что угол CAE и угол CDE равны между собой, поэтому:

угол BCE = 180 - (угол CAE + угол CDE) = 180 - 2 * угол CAE.

Теперь давайте рассмотрим треугольник CBE с углом BCE. Поскольку угол BCE - это угол при вершине треугольника, и мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, то:

угол BCE + угол CEB + угол CBE = 180.

Мы также знаем, что угол BCE равен 180 - 2 * угол CAE. Подставим это значение:

(180 - 2 * угол CAE) + угол CEB + угол CBE = 180.

Упростим это уравнение:

угол CEB + угол CBE = 2 * угол CAE.

Таким образом, угол CEB + угол CBE равны удвоенному углу CAE.

Но по определению биссектрисы, угол CAE равен углу CAD, а угол CBE равен углу BCD. Таким образом, мы имеем:

угол CAD + угол BCD = 2 * угол CAE.

Угол CAD равен 90 градусам (по условию), а угол BCD также равен 90 градусам (по свойствам параллелограмма).

Таким образом, у нас есть:

90 + 90 = 2 * угол CAE.

Из этого уравнения следует, что угол CAE равен 90 градусам.

Теперь, так как угол CAE равен 90 градусам и биссектрисы углов А и D пересекаются в точке Е, то точка Е является серединой стороны ВС.

2. Для нахождения длины стороны ВС в четырехугольнике ABCD, давайте воспользуемся известными данными и теоремой Пифагора.

У нас есть следующие сведения:

• AD = 2 (диагональ четырехугольника).
• Угол ABD = 90 градусов (по условию).
• Угол ACD = 90 градусов (по условию).
• Расстояние между точками пересечения биссектрис треугольников ABD и ACD равно корню из 2.

Обозначим BC как x (длину стороны BC, которую мы хотим найти).

Рассмотрим треугольник ABD. У нас есть угол ABD = 90 градусов, поэтому это прямоугольный треугольник. Мы также знаем, что AD = 2. Из этого мы можем применить теорему Пифагора:

AB^2 + BD^2 = AD^2.

AB^2 + x^2 = 2^2.

AB^2 + x^2 = 4.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. У нас также есть прямоугольный треугольник с уголом ACD = 90 градусов. Мы знаем, что AC = x (так как это сторона ВС), и расстояние между точками пересечения биссектрис треугольников ABD и ACD равно корню из 2. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора для этого треугольника:

AC^2 + CD^2 = AD^2.

x^2 + x^2 = 2^2.

2x^2 = 4.

x^2 = 4 / 2.

x^2 = 2.

Теперь мы мож